Loi de composition interne associative sur un ensemble fini.

On essaye de déterminer une loi de composition interne associative sur un ensemble E.

Associativité :
Pour tout choix de trois éléments a, b, c de E, (a b) c = a (b c).
(E, .) est alors un semi-groupe
(Un semi-groupe est un monoïde s'il a un élément neutre, voir en particulier : monoïde libre).

Commutativité :
(E, .) est commutative si pour tout choix de deux éléments a, b, de E, a b = b a.

On pourra essayer d'obtenir aussi la commutativité.

Élément neutre :
e est neutre si pour tout élément a de E, a e = a et e a = a. (à droite et à gauche respectivement).

Élément idempotent :
a est idempotent si    a a = a.

Essayez l'un des exemples du prochain paragraphe ou lisez les explications plus détaillées données en bas de page. Cliquez ensuite [Cherche].

Les n éléments x de E sont écrits à la 1ère ligne, les n² produits x y de deux x et y éléments de E, ou une * (comme joker), sont écrits sur les n lignes suivantes.

Cliquez le bouton [Exemple] : sur une première ligne, écrivez les n éléments de E, séparés par une ou plusieurs espaces, (a b c d dans l'exemple, cet ordre est important).
En principe, cette ligne ne doit plus être modifiée.

Entrez successivement les n lignes correspondant aux n² produits x y de deux éléments x et y de E.

Inscrivez

soit la valeur du produit x y
soit une étoile * (ce qui permet d'attendre, il est préférable de ne remplacer que l'une après l'autre, les * par des valeurs).

x y est inscrit à l'intersection de la ligne x et de la colonne y.

Cliquez ensuite sur [Cherche].

Implicitement l'ordre des lignes est le même que celui des colonnes (par exemle a b c d dans les deux cas). Les indications de lignes ne sont pas données, contrairement à celles de colonnes. Appuyez sur la touche [Exemple], les produits connus sont bb = a, cc = b, cd = c, db = b.


Les valeurs qui peuvent être déduites par associativité (et éventuellement par commutativité), remplaceront les *.
Les incompatibilités seront affichées.

Certaines touches comme [<--] [-->] permettent de retrouver les étapes précédentes.