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/ Accueil / Arithmétique / Fractions égyptiennes Fractions égyptiennesLes mathématiques égyptiennesAhmèsPapyrus Rhind
La principale source de connaissances que l'on a sur les mathématiques égyptiennes est un papyrus écrit 1650 ans environ avant J-C par le scribe Ahmès.
Déroulé, le papyrus mesure environ 6 mètres de long sur 30 cm de large. Ce papyrus est la copie d'un document plus ancien de plusieurs siècles. Il a été acheté à Louxor en 1858 par l'égyptologue écossais Henry Rhind. Actuellement il est conservé au British Museum de Londres Le papyrus Rhind nous donne des indications sur la multiplication, la division et l'utilisation des fractions.
Les doubles 2/n = 1/n+1/n ou les multiples 1/n+1/n+1/n+... étaient systématiquement remplacés par des sommes de dénominateurs différents. Le papyrus d'Ahmès contient des tables de décompositions des premières fractions 1/n et 2/n avec parfois des erreurs comme dans 1/11 = 1/(12)+1/33+1/66 de valeur exacte 1/11=1/(22)+1/33+1/66.
Calculs des doubles des fractions égyptiennes
On peut comparer la table du papyrus d'Ahmès à l'algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester pour lequel
2/(2p+1) = 1/(p+1) + 1/(p(2p+1))
Essayer aussi la petite application ci-dessous qui donne selon le cas une ou plusieurs solutions. L'algorithme glouton de Fibonacci-SylvesterSon histoire
Dans son livre Liber abaci paru en 1202, Léonard de Pise (Fibonacci) donne sans démonstration un algorithme qui permet d'obtenir une décomposition de toute fraction en une somme de fractions égyptiennes.
La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester qui a démontré que l'algorithme donne bien une décomposition en un nombre fini de fractions. La démonstration est très simple : En calculant a/b = 1/n + ... par cet algorithme (voir ci-dessous), on a soit l'arrêt avec 1/n=a/b, soit 1/n < a/b <1/(n+1) et on calcule a/b-1/n= (na-b)/(nb) Méthode
On veut décomposer la fraction a/b < 1 que l'on note a(0)/b(0),
Pour k = 0, 1, ...
Soit n(k) le plus petit entier tel que
1/n(k) soit inférieur ou égal à a(k)/b(k)
on prendra à l'étape suivante a(k+1)/b(k+1) = a(k)/b(k) - 1/n(k)
c.-à-d. a(k+1) = a(k)*n(k) - b(k)
b(k+1) = b(k) * n(k);
L'algorithme débute en prenant k=0 et s'arrête lorsque a(k) est nul.
a/b = 1/n(0) + 1/n(1) + ...
Preuve (Simplifions la notation dans la preuve en omettant d'écrire la variable k) :
------
On a 1/n <= a/b < 1/(n-1) et à l'étape suivante, s'il doit y en avoir une,
a/b est remplacé par (an-b)/(bn).
Le numérateur an-b est strictement inférieur au précédent 'a' car leur différence
a - (an-b) = a-an+b est strictement positive, en effet l'inégalité stricte a/b < 1/(n-1)
donne a(n-1)<b c'est-à-dire 0< b-an+a.
aven:~/egy\> echo "5 121"|bc fef.bc 5/121= + 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/15276127956420\ 93418846225L'algorithme donne parfois des solutions curieuses, (comparer cette solution à 5/121= 1/363+1/121+1/33), les entiers obtenus sont vite impressionnants. Les nombres entiers naturels 'égyptiens' sont les sommes des dénominateurs des décompositions de 1 en sommes de fractions égyptiennes. Ils sont dits strictement égyptiens si les fractions égyptiennes sont toutes différentes. La suite A052428 est celle des nombres égyptiens stricts, son complément est A051882 La suite A028229 donne les entiers qui ne sont pas égyptiens. Exemples : 1 = 1/2+1/2 mais comme 4=1+3=2+2 et qu'aucun des entiers 1/4 et 1/1+1/3 ne vaut 1, on peut dire que 4 est un nombre égyptien et qu'il n'est pas strictement égyptien. 1 = 1/231 + 1/210 + 1/15 + 1/11 + 1/3 + 1/2Le nombre de fractions est 9 et les solutions sont au nombre de 5, en voici deux : 1 = 1/231 + 1/45 + 1/35 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 1 = 1/385 + 1/45 + 1/33 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3On indique ci-dessous comment trouver ces deux solutions et quelques autres. en sachant que les neuf solutions contiennent en commun les six termes 1/15 1/11 1/9 1/7 1/5 1/3 on peut en déduire la somme
des trois termes restants qui est donc (cliquer) 573/10395.
Il suffit alors d'ajouter 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 aux trois solutions que l'on vient de calculer en cliquant pour obtenir trois décompositions de 1 en une somme de neuf fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.
Pour obtenir d'autres solutions on peut tenter d'augmenter le dénominateur maximum. On peut aussi choisir de décomposer 26/3465 complément à 1 de 1/21 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3.
Selon sa volonté, la moitié des animaux doit aller à l'aîné, le quart au cadet et le huitième au benjamin. Comment réaliser ce partage ? 7/8= 1/8+1/4+1/2 = 1/8 + 2/8 + 4/8, un ami de la famille trouve une solution, il prête un de ses moutons. Le nombre des motons est maintenant de 8, il est divisible par 2, 4 et 8. On donne donc 4 moutons à l'aîné, 2 au cadet et 1 au dernierenfant. Comme il reste un mouton car 4+3+1=7, on rend ce mouton à l'ami.
Remarque : Le partage est proportionnel aux trois nombres 1, 2 et 4. Les parts ne sont même pas proportionnelles à 1/8, 1/4 et 1/2 mais bien à 1/7, 2/7 et 4/7 de l'héritage. Un énoncé qui correspond à la solution consiste à dire que la part du cadet est la moitié de celle de l'aîné et que celle du benjamin est aussi la moitié de celle du cadet. Inscrivez dans les cases ci-dessus les nombres d'enfants, de moutons prêtés et l'héritage mamimum. Vous obtiendrez toutes les solutions jusqu'à ce maximum. Les parts des enfants étant proportionnelles à a, b, ...c, l'équation diophantienne (équation en en nombres entiers) 1/a+1/b+...1/c = n/(n+k) donne les solutions.
Lorsque le nombre n d'enfants et celui k d'animaux prêtés sont donnés, le nombre de possibilités est fini. Ainsi pour 3 enfants et 1 animal prêté, les solutions sont au nombre de 7. Autres exemples : 1) Deux enfants 2) Prêt de deux moutons 3) Cinq héritiers (inutile de cliquer sur [solutions]) |
Des 
