L'un au moins des petits côtés du triangle pythagoricien (ou pythagorique) est pair ===================================================================== On peut prouver que a ou b est pair, par exemple ainsi : si on suppose a^2 + b^2 = c^2 avec a et b impairs tous les deux alors 1) a^2 + b^2 est pair et donc c^2 est pair et donc, comme c'est un carré, c^2 est nécessairement un multiple de 4. 2) a et b sont de la forme a=2r+1, b=2s+1, et donc a^2 + b^2 = 4(r^2 + r + s^2 + s) + 2, d'où on tire que c^2 n'est pas multiple de 4. Cette contradiction permet de prouver que lorsque a^2 + b^2 = c^2, on a nécessairement a ou b pair (ou éventuellement les deux) et jamais a et b simultanément impairs. a=2xy, b=x^2-y^2, c=x^2+y^2 est un triangle pythagoricien ===================================================================== en calculant a^2+b^2-c^2 qui donne 0 en se simplifiant. (2xy)^2 + (x^2-y^2)^2 - (x^2 + y^2)^2 = 4x^2y^2 + x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - x^4 - y^4 - 2x^2y^2 = 0 Tous les triangles pythagoriciens sont de la forme a=2xy, b=x^2-y^2, c=x^2+y^2 ===================================================================== On suppose que a, b, c sont des entiers strictement positifs, premiers entre eux et que a est pair. Donc b, c sont impairs, c-b et c+b sont pairs. De plus (c-b)/2 et (c+b)/2 sont nécessairement premiers entre eux. a^2 + b^2 = c^2 donne a^2 = c^2 - b^2 a^2 = (c - b) (c + b) a^2 /4 = (c-b)/2 * (c+b)/2 Comme (c-b)/2 et (c+b)/2 sont premiers entre eux, ils sont des carrés que l'on peut nommer y^2 et x^2. D'où le résultat : On obtient tous les triangles pythagoriciens de côtés premiers entre eux, en prenant a=2xy, b=x^2-y^2 et c = x2+y2 et en faisant varier x et y premiers entre eux, (x>y>0). a est le petit côté pair, b le petit côté impair et c le grand côté, c'est-à-dire l'hypoténuse du triangle rectangle.