Jeux et Mathématiques - Calculatrice de nombres harmoniques

Pour tout entier positif non nul $n$, le nombre harmonique $H_n$ est par définition la somme des inverses des entiers de $1$ à $n$.
$$\displaymath H_n = \sum_{k=1}^{k=n} \frac 1 k$$.
Propriétés :
Pour tout $n>0$, $H_n$ est un nombre rationnel positif, $\displaymath 1< H_1 < H_2< H_3 < \ldots$
Quelques valeurs :

$\displaymath H_1=\frac{1}{1}= 1$ $\displaymath H_2=\frac{3}2{}= 1.5$ $\displaymath H_3=\frac{11}{6}= 1.833\ldots$ $\displaymath H_4=\frac{25}{12}= 2.083\ldots$ $\displaymath H_5=\frac{137}{60}= 2.283\ldots$ $\displaymath H_6=\frac{49}{20}= 2.45$ $\displaymath H_7=\frac{363}{140}= 2.592\ldots$ $\displaymath H_8=\frac{761}{280}= 2.717\ldots$ $\displaymath H_9=\frac{7129}{2520}= 2.828\ldots$ $\displaymath H_{10}=\frac{7381}{2520}= 2.928\ldots$ $\displaymath H_{11}=\frac{83711}{27720}= 3.019\ldots$ $\displaymath H_{12}=\frac{86021}{27720}= 3.103\ldots$ $\displaymath H_{13}=\frac{1145993}{360360}= 3.180\ldots$ $\displaymath H_{14}=\frac{1171733}{360360}= 3.251\ldots$ $\displaymath H_{15}=\frac{1195757}{360360}= 3.318\ldots$

Calculs

nombres harmoniques

Suites

A001008 Wolstenholme numbers est la suite des numérateurs des nombres harmoniques H_n écrits sous forme de fractions réduites.

A002805 est la suite des dénominateurs des nombres harmoniques H_n.

Les fichiers au format texte contenant les numérateurs et les dénominateurs des 500 premiers nombres harmoniques sont disponibles ici : numérateurs et dénominateurs

Pour des raisons faciles à comprendre, il arrive que plusieurs dénominateurs successifs soient identiques.
La suite

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 37, 41, 42, 43, 44, 47, 49, 53, 54, 59, 61, 63, 64, 66,
67, 69, 71, 72, 73, 77, 79, 81, 83, 88, 89, 97, 100, 101, 103, 105, 107 ...

donne les valeurs de n pour lesquelles H_n est différent de H_n-1. Cette suite pour n inférieur à 1000 ou n inférieur ou égal à 3000.

Équilibres

En empilant des livres identiques, en ne mettant qu'un seul livre à chaque niveau et à la limite du déséquilibre, vous pourrez obtenir la même disposition que sur l'image ci-dessous.

En prenant pour unité de longueur la moitié de la hauteur d'un livre, le premier livre dépasse d'une unité (H₁ le suivant.
En plaçant leur centre de gravité tout à fait au bord du troisième, les deux premiers livres dépassent de H₂ unités le troisième,
de même, les trois premiers livres dépassent de H₃ unités le quatrième, etc.
On montre aisément que la suite des nombres harmoniques a une limite infinie. Vous pourrez donc - en théorie - construire des empilements proches du déséquilibre ayant des porte-à-faux aussi grands que vous le voudrez !

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