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Gains des trois joueurs après plusieurs parties de jeu

Présentation

Le problème

Trois amis se retrouvent régulièrement pour s'affronter à leurs jeux préférés. Aujourd'hui, le premier a gagné A = 31 points, le second B = 22 points et le troisième C = 10 points.
Pouvez-vous dire le nombre de parties jouées ? Ainsi que le détail des gains des joueurs lors des différentes parties

Précisions
lors de chaque partie, le premier de la partie gagne a points, le second gagne b points et le troisième c points,
les trois types de gains a, b, c ne changent pas d'une partie à l'autre et a > b > c,
il n'y a pas d'ex æquo, les trois nombres a, b, c sont bien tous différents,
Les joueurs additionnent leurs gains aux différentes parties, ce n'est qu'à la fin de toutes les parties que les totaux des gains sont A, B et C.


Calculs de solutions

Vous obtiendrez la solution lorsqu'il en existe une et aussi toutes les autres solutions lorsqu'il y en plus d'une.


Placez les valeurs de A, B et C de votre choix puis cliquez sur le bouton [Calcule] pour obtenir les solutions.

A =     B =     C =            

Vous obtiendrez les valeurs de a, b et c et pour chaque joueur les nombres de fois qu'ils ont gagné a, b ou c points. Lorsque les trois nombres A, B, C sont différents, il y a une solution triviale dans laquelle le nombre de parties est 1, cette solution n'est volontairement pas comptabilisée. Lorsque deux ou plus des nombres A, B, C sont égaux, certaines solutions sont semblables à une permutation près des lignes.

Résolution

Équations

Les trois données sont $\displaystyle A > 0, B> 0, C> 0$.
Les treize inconnues sont $\displaystyle a > b > c > 0$, $\displaystyle x_1,y_1,z_1, x_2, y_2, z_2, x_3, y_3, z_3, n> 0$,.
Tous ces nombres sont des entiers positifs, certains sont strictement positifs

Les dix équations sont

$n = \frac {A+B+C}{a+b+c}$

$\displaystyle 1) \left \{ \begin{matrix} x_1 a + y_1 b + z_1 c & = & A \\ x_2 a + y_2 b + z_2 c &=& B \\ x_3 a + y_3 b + z_3 c &=& C \end{matrix}\right .$

$\displaystyle 2) \left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3 &=& n\\ y_1+y_2+y_3&=&n\\z_1+z_2+z_3&=&n\end{matrix}\right .$

$\displaystyle 3) \left \{ \begin{matrix} x_1+y_1+z_1 &=& n\\ x_2+y_2+z_2&=&n\\x_3+y_3+z_3&=&n\end{matrix}\right .$

Explications

La somme des points de toutes les parties est $S=A+B+C$.
La somme des points d'une partie est $s=a+b+c$ on en déduit que $s$ est un diviseur entier de $S$.
On a donc $S=n\times s$ et $n$ est le nombre de parties : $\displaystyle n = \frac {A+B+C}{a+b+c} = \frac S s$.

$x_1$, $y_1$, $z_1$ sont les nombres de fois que le premier joueur a été premier, deuxième ou troisième dans une partie.
De même $x_2, y_2, z_2$ correspondent au deuxième joueur et $x_3, y_3, z_3$ au troisième joueur.

Le problème posé implique que $x_1+x_2+x_3 = y_1+y_2+y_3=z_1+z_2+z_3=n$ (le nombre de parties).

Résolution

Comme $A, B, C$ sont les données et que $A+B+C = n(a+b+c)$, on décompose la résolution en faisant parcourir à $n$ l'ensemble des diviseurs de $S=A+B+C$.
(On remarque que dans le même temps, $s=a+b+c$ parcourt l'ensemble des diviseurs de $S=A+B+C$). De plus $a>b>c>0$ entraîne $a+b+c\geq 6$ et donc $\displaystyle n \leq \frac{A+B+C} 6$.
$n=1$ correspond à la solution triviale $a=A$, $b=B$, $c=C$, (sauf si $A, B, C$ ne sont pas tous différents).
Pour tout autre valeur de $n$, on calcule la valeur correspondante $\displaystyle s=a+b+c=\frac {A+B+C} n$ et on essaie de combiner les décompositions de $s$ en somme de trois nombres $a,b,c$ ainsi que les décompositions de $n$ en $x_1, x_2, x_3$, en $y_1, y_2, y_3$ et $z_1,z_2,z_3$. afin que toutes les contraintes soient vérifiées.

La matrice $$\displaystyle M = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix}$$ a la particularité d'avoir la même somme $n$ sur routes ses lignes et ses colonnes. Une manière de résoudre le problème consiste à déterminer pour chaque diviseur $n$ de $A+B+C$, les matrices $M$ de même somme $n$ sur les lignes et les colonnes. Les solutions sont les solutions entières $\displaystyle \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}$ de l'équation $\displaystyle M \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A \\ B\\ C \end{bmatrix}$.

Lorsque $M$ est régulière, la solution est $\displaystyle \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}= M^-1 \begin{bmatrix} A \\ B\\ C \end{bmatrix}$, à condition qu'elle soit entière.

Exemple

$A=31$, $B=22$, $C=10$ ont pour somme $S=63$ dont l'un des diviseurs est $n=3$, on peut construire la matrice $\displaystyle M = \begin{bmatrix} 2&0&1\\ 1&2&0\\ 0&1&2\end{bmatrix}$ de déterminant $D=9$ et de matrice inverse $\displaysatyle M^{-1} = \frac 1 9 \begin{bmatrix}4 & 1 &-2\\ -2& 4 &1 \\ 1& -2 &4 \end{bmatrix}$. En calculant $\displaysatyle M^{-1}\begin{bmatrix} 31 \\ 22\\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 4\\ 3 \end{bmatrix}$ on obtient une solution : $a=14, b=4, c=3$.
(Remarque : si on avait permuté les lignes ou les colonnes de la matrice $M$, on aurait parfois obtenu une solution avec les mêmes trois valeurs $3, 4, 14$ dans un ordre ou un autre, il aurait alors suffi de les réordonner et de modifier $M$ en conséquence. L'astuce est de ne pas permuter $M$ ni $M^{-1}$ et de tester les six permutations de $A, B, C$).

Exercices

1) $A=38, B=34, C=8$ ont pour somme $80$ dont les diviseurs $n=2$, $n=4$, $n=5$ et $n=8$ vous donnerons une ou plusieurs solutions (7 solutions en tout). Déterminez des matrices $M$ inversibles possibles, (dont les lignes et les colonnes ont pour somme $n$), puis testez-les.

2) $A=98, B=52, C=19$ a une solution unique (en dehors de la solution triviale). Le nombre $n$ de parties et la somme $a+b+c$ sont évidents, saurez-vous trouver la solution ?

Algorithme

C'est l'algorithme utilisé pour écrire l'application javascript du paragraphe "Calculs de solutions" de cette page.

Pour tous les choix possibles de $a$, $b$, $c$ vérifiant $a > b > c > 0$ et tels que $a+b+c$ soit un diviseur strict de $A+B+C$

On calcule $\displaystyle n = \frac{A+B+C}{a+b+c}$

Pour tous les choix possibles de $\displaystyle x_3$, $\displaystyle y_3$, $\displaystyle z_3$ entiers positifs tels que $x_3+y_3+z_3 = n$ et $x_3\, a + y_3\, b+ z_3\, c = C$

Pour tous les choix de $x_2$, $y_2$, $z_2$ tels que $x_2+y_2+z_2 = n$ et $x_2\, a+y_2\, b+z_2\, c = B$

On calcule $x_1 = n-(x_2+x_3)$, $y_1=n-(y_2+y_3)$, $z_1=n-(z_2+z_3)$

Si $x_1$, $y_1$, $z_1$ sont positifs ou nuls et si $x_1\, a+y_1\, b+z_1\, c = A$, on affiche la solution















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2011




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