Arithmétique

Écritures littérales des entiers naturels
Convertit l'écriture décimale d'un nombre en l'une de ses écritures littérales française, ancienne ou moderne (avec traits d'union). Permet éventuellement de distinguer l'écriture des ordinaux de celle des cardinaux.

Suite de Syracuse
La conjecture de Syracuse est encore connue sous les dénominations de 'problème de Collatz', 'de Kakutani', 'd'Ulam' ou encore '3x+1 problem' (Google). Simple à définir et à comprendre par tout non mathématicien, elle résiste depuis plus de 70 ans à toutes les tentatives de démonstration.
Prenez un nombre, s'il est pair divisez-le par 2, s'il est impair multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Recommencez tant que vous n'obtenez pas 1.

Flavius Josèphe
Comment Flavius Josèphe et son ami sauvèrent leur vie dans une grotte de Jotapata cernée par les romains au 1er siècle.

Suite de Fibonacci
On rencontre très souvent cette suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 ... (Et aussi dans la nature : reproduction des lapins, plantes).

Nombres premiers

crible.c Programme C de construction de tables de (différences de) nombres premiers à l'aide du crible d'Eratosthène.
Crible géométrique (Hyperbole) À l'aide d'une hyperbole, on fait apparaître en creux l'ensemble des nombres premiers sur l'un des axes.
Construction d'une table de nombres premiers (java et javascript)
Recherche de n-uplets de nombres premiers consécutifs de différences données.
Nombres premiers probables
Polynômes du second degré et nombres premiers
En particulier le polynôme d'Euler n² + n + 41 dont les 40 valeurs P(0), P(1), ..., P(39) sont toutes des nombres premiers. Les records sont Q(n) = 36 n² -810 n + 2753 et Q(44-n) avec 45 premiers.

Diviseurs
Déterminer l'ensemble de tous les diviseurs d'un naturel

Écriture primaire
Chaque entier supérieur ou égal à 2 se factorise de manière unique sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers distincts croissants, par exemple 12000 = 2⁵ × 3¹ × 5³.

PGCD de plusieurs entiers. Identité de Bézout.
Pgcd et relation de Bézout de deux ou de plusieurs entiers.
Par exemple le pgcd de 132 et de 96 est 12 et on a la relation 3*132-4*96=12.
128, 72, 81 sont premiers entre-eux dans leur ensemble et -40*128+70*72+1*81=1.

Fractions continues
Les fractions continues permettent d'obtenir les 'meilleure' approximations rationnelles de nombres irrationnels, (par exemple 22/7 pour Pi).

Arbre de Stern-Brocot et suites de Farey
Toutes les fractions irréductibles strictement positives a/b sont présentes une fois et une seule. À chacune d'elles correspond un mot binaire unique (par exemple 4/7 = LRLL = LRL²).
Les mots infinis associés aux irrationnels sont intimement liés aux développements en fractions continues (par ex. e = 2,7182818...= R²L¹R²L¹R¹L⁴R¹L¹R⁶L¹R¹L⁸R¹L¹R¹⁰...= [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1,...])

Fractions égyptiennes Problèmes anciens de partage d'héritage.

Nombres parfaits. Paires de nombres amiables
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres, c'est-à-dire autres que l'entier : 6, 28, 496 sont parfaits. Dans une paire de nombres amiables, chaque entier est la somme des diviseurs propres de l'autre : 220 284 sont amiables.

Suites aliquotes
Dans une suite aliquote, chaque terme est un entier naturel qui a pour successeur la somme de ses diviseurs propres (ou parties aliquotes). par exemple : 18, 21, 11, 1.

Nombres pratiques
Un naturel n est pratique si tout naturel k de 1 à n est la somme d'un ou de plusieurs diviseurs différents de n. Par exemple 12 est un nombre pratique mais 13, 14, 15 ne sont pas des nombres pratiques.

Déterminer si un nombre est pratique
Construction d'une table (en java)
n-uplets de nombres pratiques de différences données.
Table de nombres pratiques ou liste jusqu'à 100000.
prnstewart.c Programme C de construction de la table

Nombres vampires
Ces nombres n = a b ont exactement les chiffres des deux facteurs réunis

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