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Corps finis – Base d'idempotents et facteurs de xq-1 - 1

Notations et brefs rappels de propriétés

$p$ désigne un nombre premier $p\in\{2, 3, 5, 7, \cdots\}$.
$n$ est un entier naturel non nul, $n\in \{1, 2, 3, 4, \cdots\}$, $q = p^n$ est une puissance de $p$.

$\displaystyle ({\bbmath Z}/_{a\bbmath Z}, +, \times)$ est l'anneau des classes d'entiers modulo $a\geq 2$. Lorsque $a$ est un nombre premier $a=p$, l'anneau $\bbmath Z/_{p \bbmath Z}$ est un corps.

$F_p$ est le corps fini à $p$ éléments $({\bbmath Z}/_{p\bbmath Z}, +, \times)$ des entiers modulo le nombre premier $p$,
$Z[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients entiers, $F_p[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients dans $F_p$,
$F_q = F_{p^n}$ est le corps fini à $p^n$ éléments, (à un isomorphisme près car tous ces corps à $p^n$ éléments sont isomorphes).
$F_q^\star$ est le groupe multiplicatif du corps $F_q$, il a $q-1 = p^n -1 $ éléments et est cyclique. Pour tout $a\in F_q^\star$, $\displaystyle a^q = a$.

Un élément primitif $\theta$ de $F_q^\star$ est un élément tel que pour tout diviseur strict $d$ de $q-1$, $\theta^d \not= 1$.
$\Phi_{r}(x)$ est le r-ième polynôme cyclotomique, $\displaystyle\Phi_r(x) = (x^r-1)/ {\rm pgcd}\left(x^r - 1, \prod_{d|r ; 1\le d < r}\ (x^d-1)\right)$. On a aussi $\displaystyle x^r - 1 = \prod_{d|r} \Phi_{r}(d)$. Pour tout $p$ premier, $\displaystyle\Phi_p(x)=1+x+\cdots+x^{p-1}$.
$\phi(r)$ est le r-ième nombre cyclotomique, il est le degré du polynôme $\displaystyle\Phi_r(x)$. Pour tout $p$ premier, $\phi(p)= p$.
Le groupe multiplicatif $F_q^\star$ est cyclique, de cardinal $q-1$, le nombre d'éléments générateurs est $\phi(q-1)$ générateurs.

xq-1 - 1 et Polynômes idempotents

Les polynômes de la base de polynômes idempotents de $F_p[x]_{/(x^{q-1}-1)}$ permettent de factoriser $x^{q-1} -1$. Ces polynômes sont vus et construits à la page [Corps finis – Cycles – Polynômes idempotents].
Ces polynômes $P_i(x)$ vérifient la propriété $\displaystyle \left(P_i(x)\right)^p = P_i(x)$, la somme ou la différence de plusieurs de ces polynômes est aussi un polynôme idempotent.

Dans un premier temps, les polynômes $P_i(x)$ permettent d'écrire $x^{q-1} -1$ sous la forme d'un produit d'au plus $p$ facteurs. La propriété est

$\displaystyle x^{q-1}-1 = \prod_{k, 0\leq k < p} {\rm Pgcd}\left(x^{q-1}-1, P_i(x)+k\right)$


L'application détermine les polynômes et calcule les pgcd. Elle affiche sur cette page, pour chacun de ces polynômes 1) le polynômes $P_i(x)$ et au-dessous 2) la factorisation de $x^{q-1} -1$ obtenue.

Indiquez les valeurs du nombre premier $p$ et de l'entier $n \ge 1$, (évitez que $p^n$ soit trop grand). Choisissez le mode d'affichage

$p=$   $n=$              

Documents - références - compléments - liens utiles















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