Corps finis – Corps de Galois GF(pⁿ)

Les corps finis ont $p^n$ éléments, où $p$ est un entier naturel premier et $n$ un naturel $n$ > $0$.
Deux corps finis qui ont même nombre d'éléments sont isomorphes. Lorsque $n=1$ le nombre d'éléments est le nombre premier $p$ et dans ce cas le corps $GF(p)$ est isomorphe à $(\Mathbb{Z}_p, +, \times)$, corps des classes résiduelles modulo $p$. L'exemple ci-dessous est celui des restes modulo $p$.

Corps $GF(p)$ avec $p=$

$GF(p^n)$ a une structure de groupe commutatif pour l'addition $+$.
(Comme on peut le voir dans l'exemple ci-dessus, le groupe $GF(p)$ est cyclique lorsque $n=1$, mais cette propriété n'est pas vraie dans le cas général $GF(p^n)$).

L'élément neutre $0$ de l'addition est un élément absorbant pour la multiplication $ \forall x, x \times 0 = 0$
L'ensemble des éléments non nuls a une structure de groupe commutatif dont l'élément neutre est $1$.

Dans tous les cas, le groupe multiplicatif des éléments non nuls de $GF(p^n)$ est un groupe cyclique.
En ordonnant convenablement les éléments de la table du groupe multiplicatif de $GF(p)$, on met en évidence cette propriété de cyclicité.
(Pour $p>3$ on peut mettre en évidence cette propriété en ordonnant différemment les éléments).

L'application utilise des polynômes primitifs précalculés pour construire le corps $GF(p^n)$.
Pour ces polynômes irréductibles de degré $n$ sur le corps $F_p$, le polynôme $x$ est un élément irréductible, (par exemple $1 + x+ x^3$ est irréductible de degré 3, sur $F_2$ et $x^3 = 1 + x$ ).
Les éléments non nuls du corps sont les $x^k$ pour $0\leq k \leq p^n-2$, (on voit ainsi que le groupe multiplicatif est cyclique). À chaque $x^k$ correspond un polynôme de degré strictement inférieur à $n$, l'application ci-dessous donne dans un tableau ces correspondances.
Les éléments du sous-corps isomorphe à $F_p$ sont coloriés en vert, (c'est le cas de tous les éléments lorsque vous calculez $F_{p^1} = GF(p^1)$, mais la numérotation des éléments n'est pas celle de $\mathbb Z_p$, la correspondance est donnée dans la table).

L'application ci-dessous calculera le corps chaque fois qu'un polynôme primitif sera connu. Pour un calcul rapide et un résultat peu encombrant, évitez que $p^n$ ne dépasse la centaine ou à peine plus.

Vous pouvez télécharger un fichier contenant une liste de polynômes, (chaque ligne est de la forme $p$ $n$ suivis des coefficients). La page Primpoly de Wims vous fournira aussi tous les polynômes dont vous pourriez avoir besoin.

En cliquant sur [Calcule] le calcul utilisera le polynôme prédéfini correspondant aux valeurs de $p$ et de $n$.

Si vous préférez utiliser un polynôme particulier, inscrivez ses coefficients dans l'ordre croissant des degrés des monômes (par exemple le polynôme $2+x+x^2$ a pour coefficients 2 1 1) puis cliquez sur [Avec polynôme] .
Le polynôme que vous donnerez sera analysé, veillez à ce que ses coefficients soient inférieurs à $p$, vérifiez que son degré est $n$, que le coefficient de $x^n$ est bien $1$ et que le polynôme est primitif, (sinon essayez de modifier un ou plusieurs coefficients).

$ p = $ et $ n = $      

Si vous désirez proposer un polynôme primitif particulier, donnes les coefficients dans l'ordre croissant des degrés, par exemple 2 1 1 pour $2+X+X^2$
Coefficients :   

Rappel : on a l'entier $p$ est premier, l'exposant entier $n\ge 1$ de $p^n$, le corps $\displaystyle F_{p^n}=GF(p^n)$. Il existe dans $\displaystyle F_p[X]$, des polynômes $P(X)$ de degré $n$ à coefficients dans $\displaystyle F_p$, irréductibles, tels que $X$ soit d'ordre $\displaystyle p^n-1$ dans le groupe multiplicatif $\displaystyle F_p[X]/P$.

Les polynômes $\displaystyle P$ sont des diviseurs $n$ dans $\displaystyle F_p[X]$ de {p^n}-X$ et pour tout $k \lt p^n$ ne sont pas des diviseurs de $X^k-X$.
Dit autrement, ce sont les facteurs de degrés $n$, dans $\displaystyle F_{p}[X]$, du $\displaystyle p^n-1$-ième polynôme cyclotomique $\displaystyle \Phi_{p^n-1}(X)$.

Le nombre de ces polynômes primitifs est $\displaystyle \frac{\phi(p^n-1)} n$. Pour le connaître, complétez ci-dessous :

$p=$  $n=$ 

Les polynômes cyclotomiques jusqu'à $\Phi_{50}(X)$ sont écrits sur la page du site Polynômes cyclotomiques. Un fichier texte contenant ces polynômes jusqu'à à $\Phi_{500}(X)$ est disponible sur le site en cliquant ici : Fichier des polynômes cyclotomiques.

Exemple 1 : $p=2$, $n=4$, $p^n=16$.
Dans $\mathbb Q[X]$ on a la factorisation
$\displaystyle X^{16}-X = $ $X\times(X-1)$ $(X^2 + X+ 1)$ $(X^4+X^3+X^2+X+1)$ $(X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1)$,
comme $15=3\times 5$, on reconnaît les polynômes cyclotomiques $\Phi_3(X)=X^2+X+1$, $\displaystyle \Phi_5(X)=X^4+X^3+X^2+X+1$, (faciles à retrouver car $3$ et $5$ sont premiers), et enfin $\displaystyle \Phi_{15}=X^8 - X^7 + X^5 - X^4 + X^3 - X + 1$, (que l'on peut retrouver en divisant $\displaystyle X^{16} -X$ par $X$, $\displaystyle \Phi_1(x)=X-1$, $\displaystyle \Phi_3(x)$ et $\displaystyle \Phi_5(X)$).

Dans $\displaystyle F_2[X]$, le polynôme $\displaystyle \Phi_{15}(X)$ s'écrit $\displaystyle X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1$, son degré est 8 et il se factorise en un produit de $\displaystyle 2 = \frac 8 4 $ polynômes $f(X)$ et $g(X)$ de degrés $4$.
Les polynômes $f(X)=x^4+aX^3+bX^2+cX+1$ et $g(X)=X^4+cX^3+bX^2+aX+1$ sont symétriques car on pourrrait montrer que toute racine $X$ de l'un correspond à l'inverse d'une racine de l'autre, (ce qu'on montrer en déterminant les racines $\omega^\nu$ de ces polynômes). En identifiant le produit $f(X)g(X)$ à $\displaystyle \Phi_{15}(X)$ on obtient les valeurs des coefficients $a$, $b$, $c$ et donc $f(x)=x^4+X^3+1$ et $g(X)=X^4+X+1$ (interchangeables).
Cliquez sur $1+X^3+X^4$ ou sur $1+X+X^4$ pour lancer l'application et vérifier que le polynôme permet de construire le corps $F_{16}$.

Exemple 2 : $p=3$, $n=4$, $p^n=81$, $\displaystyle \Phi_{80}(X)=X^{32}-X^{24}+X^6-X^8+1$ se factorise dans $\displaystyle F_3[X]$ en huit facteurs $X^4+X+2$, $X^4+2X+2$, $X^4+X^3+2$, $X^4+X^3+X^2+2X+2$, $X^4+X^3+2X^2+2X+1$, $X^4+2X^3+2$, $X^4+2X^3+X^2+X+2$, $X^4+2X^3+2X^2+X+2$.
Cliquez sur l'un ou l'autre de ces huit facteurs pour lancer l'application et vérifier que ce polynôme permet bien de construire le corps $F_{81}$.

Exemple 3 : $p=5$, $n=2$, $p^n=25$, $\displaystyle \Phi_{24}(X)=X^8-X^4+1$ dont les facteurs dans $F_5[X]$ sont $X^2 + X + 2$, $X^2+2X+3$, $X^2 + 3X+ 3$, $X^2 + 4X+2$.
Cliquez sur l'un ou l'autre de ces facteurs pour lancer l'application.