Puzzle de Dudley Langford

C'est en observant son jeune fils jouer avec des cubes de couleurs que le mathématicien écossais Dudley Langford imagina d'arranger les blocs de telle sorte qu'entre les deux rouges il n'y ait pas le même nombre de cubes qu'entre les deux bleus ou les deux verts. Il faut aussi que les nombres de cubes intercalés soient 1, 2, 3... des entiers consécutifs. Depuis sa publication en 1958, la recherche des solutions de ce puzzle est connue sous le nom de "problème de Langford".
Un an auparavant, en 1957, le mathématicien et logicien norvégien Thoralf Skolem qui cherchait à construire des systèmes de Steiner, utilisait des objets mathématiques semblables.

Le plus souvent on note les cubes par la distance qui les séparent de leur sosie de même couleur. Dans la suite 4,2,3,2,4,3 les cubes 4 sont d'une même couleur et à une distance 4 l'un de l'autre, les deux sont d'une autre couleur etc. Dans une suite de Langford la distance minimum est 2 ou plus, dans une suite de Skolem elle est toujours de 1. Dans tous les cas, l'ensemble des distances est une suite de nombre consécutifs, dans l'exemple ces distances sont 2, 3, 4.

Depuis le problème de Skolem-Langford a été généralisé à des triplets et à des quadruplets et à des ensembles de distances non consécutives. (On les retrouve sur ce site, depuis plusieurs années aux pages pavages rythmiques parfaits, où les quadruplets sont utilisés pour la première fois musicalement, dans le morceau de musique [PRP 15-4]).

Alignez horizontalement les pions.
Les distances entre les deux pions de même couleur doivent être différentes d'une couleur à l'autre.

Les distances entre pions d'une même couleur seront

1. toutes différentes et pas nécessairement des entiers consécutifs, dans le cas d'une suite "near-Skolem" (presque-Skolem). Ces suites existent pour tout entier n >0.
2. 1, 2, 3, ..., n pour une suite de Skolem. Existent pour n=0, 1 (mod 4) uniquement (en divisant n par 4, le reste est 0 ou 1).
3. 2, 3, 4, 5, ..., n+1 pour une suite de Langford. Existent pour n=3 ou 0 (mod 4).
4. 1+d, 2+d, 4+d,... n+d pour une suite de Langford de défaut égal à d. Leur existence dépend des valeurs de n (mod 4) et de d

Nombre de couleurs :    

Avant le premier jeu, déplacez tous les pions à l'aide de la souris et alignez-les à peu près horizontalement, dans l'ordre que vous voudrez. Dans les jeux qui suivront, vous pourrez ne déplacer que quelques pions seulement.

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