Fraction
en partant d'une écriture décimale périodique illimitée

Les entiers positifs sont 0 1 2 3 ... 1235 1236 ...
Les entiers négatifs sont 0 -1 -2 -3, ...

Les décimaux sont les quotients des entiers par les puissances 10ⁿ, n positif. (Par exemple 12,45 -257,1 36 sont les quotients 1245/100, -2571/10, 36/1).
Les décimaux s'écrivent avec un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. En plaçant une infinité de 0 à leur droite : 12,45 = 12,450000... on obtient une écriture décimale illimitée, ils en ont une deuxième 12,45 = 12,449999...

Les nombres à écriture décimale illimitée comme le célèbre π = 3,14159... ou la racine carrée de 2 = 1,41421... ou encore 278,5914914914914914... ont un nombre infini de chiffres à droite de la virgule.
Certains sont entiers (45=45,0000...) ou décimaux (225,17 = 225,170000... = 225,1699999...) ou rationnels (5/3=1.666...) ou ne le sont pas (comme π).

Lorsqu'un groupe de chiffres se répète à l'identique indéfiniment à partir d'un certain rang, à droite de la virgule, l'écriture décimale illimitée est dite périodique : 13,125734734734734734734734734...734... de période [734] s'écrira 13,125[734].
Dans 13,125[734] la partie entre crochets est à recopier indéfiniment à droite de 13,125.
Les nombres décimaux illimités périodiques comme 13,125[734] sont rationnels et peuvent s'écrire sous forme de fractions.
Dans cette page vous pourrez transformer des nombres comme 13,125[734] en fractions. Vous pourrez aussi réaliser les divisions "à virgules" qui correspondent à ces fractions.

Cette page est complétée par Longueur des périodes des représentations décimales des fractions.

Dans cette page vous verrez en détail, sur des exemples, comment calculer l'écriture fractionnaire d'un rationnel à partir d'une écriture décimale illimitée périodique.

Inversement, tout nombre rationnel ou toute fraction possède une ou plusieurs écritures décimales illimitées périodiques, mais dans cette page on n'étudiera pas cette transformation.

Exemple : en effectuant la division de 9533 par 270 vous trouvez 9533/270 = 35.30740740740740740740... On remarque (et on peut le montrer) que la partie droite est une répétition des mêmes trois chiffres 407. On a par exemple 9533/270 = 35.307[407][407][407][407]... et [407] s'appelle une période.
Plus simplement on remarque que 9533/270 = 35.3[074][074]... de période [074]. En écrivant 9533/270 = 35.3[074074]..., la longueur de la période est différente.
(Il y a plusieurs manière de mettre en évidence la périodicité de cette écriture illimitée).

Le problème posé dans cette page est de retrouver la fraction en partant de 35.307[407] ou évidemment de 35.3[074] ou même de 35.3[074074]

On impose une restriction : l'écriture décimale devra être mise sous la forme abc.def[ghijk] (la période est indiquée entre crochets après le point décimal).
Évitez d'utiliser des nombres trop grands de chiffres. Les calculs effectués ne sont exacts que si certaines limites ne sont pas dépassées, (ne dépassez pas une dizaine de chiffres).

               

Pour étudier la fraction obtenue et pour mieux comprendre les périodes et les longueuurs des périodes, rendez-vous à la page Longueur des périodes des représentations décimales des fractions. Vous y retrouverez aussi l'application ci-dessus.

           

De nombreux autres exemples à la page Longueur des périodes des représentations décimales des fractions. De plus en partant d'une fraction, vous comprendrez comment on calcule la longueur de la période sans nécessairement chercher cette période, c'est-à-dire sans effectuer la division ci-dessus.

1) 0,444[14],     2) 421,3[7],     3) 0,25[23],     4) au hasard,