Déterminer une fraction connaissant son écriture périodique illimitée
Présentation
Écritures décimales
Les entiers positifs sont 0 1 2 3 ... 1235 1236 ...
Les entiers négatifs sont 0 -1 -2 -3, ...
Les décimaux 12,45 -257,1 36 ... sont les quotients des entiers par l'un des nombre 1, 10, 100 ... (par exemple 12.45=1245/100).
Les décimaux ont un nombre fini de chiffres à droite de la virgule.
Les nombres à écriture décimale illimitée comme le célèbre π = 3,14159... ou la racine carrée de 2 = 1,41421... ou encore 278,5914914914914914... ont un nombre infini de chiffres à droite de la virgule.
Certains sont entiers (45=45,0000...) ou décimaux (225,17 = 225,170000... = 225,1699999...) ou rationnels (5/3=1.666...) ou ne le sont pas.
Lorsqu'un groupe de chiffres se répète à l'identique indéfiniment à partir d'un certain rang, à droite de la virgule, l'écriture décimale illimitée est dite périodique : 13,125734734734734734734734734...734... de période [734] s'écrira 13,125[734].
Dans 13,125[734] la partie entre crochets est à recopier indéfiniment à droite de 13,125.
Les nombres décimaux illimités périodiques comme 13,125[734] sont rationnels et peuvent donc s'écrire sous forme de fractions.
Dans cette page vous pourrez transformer des nombres comme 13,125[734] en fractions.
Rationnels
Dans cette page vous verrez en détail, sur des exemples, comment calculer l'écriture fractionnaire d'un rationnel à partir d'une écriture décimale illimitée périodique.
Inversement, tout nombre rationnel ou toute fraction possède une ou plusieurs écritures décimales illimitées périodiques, mais dans cette page on n'étudiera pas cette transformation.
Exemple : en effectuant la division de 9533 par 270 vous trouvez 9533/270 = 35.30740740740740740740... On remarque (et on peut le montrer) que la partie droite est une répétition des mêmes trois chiffres 407. On a par exemple 9533/270 = 35.307[407][407][407][407]... et [407] s'appelle une période.
Plus simplement on remarque que 9533/270 = 35.3[074][074]... de période [074]. En écrivant 9533/270 = 35.3[074074]..., la longueur de la période est différente.
(Il y a plusieurs manière de mettre en évidence la périodicité de cette écriture illimitée).
Le problème posé dans cette page est de retrouver la fraction en partant de
35.307[407] ou évidemment de
35.3[074] ou même de
35.3[074074]
Application
Notation et restrictions
On impose une restriction : l'écriture décimale devra être mise sous la forme abc.def[ghijk] (la période est indiquée entre crochets après le point décimal).
Évitez d'utiliser des nombres trop grands de chiffres. Les calculs effectués ne sont exacts que si certaines limites ne sont pas dépassées, (ne dépassez pas une dizaine de chiffres).
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