Somme des puissances n-ièmes des premiers entiers naturels

Description

(fr.sci.maths du 26 Août 2001)

Je calcule S_n(X) qui donne, lorsque X est un naturel, la somme
pour i variant 0 à X des i^n : 0^n+1^n+...+i^n+...+X^n.
Voici un procédé qui permet à partir de S_0(X) = X+1 de calculer
de proche en proche et très simplement les polynômes S_1(X) =
(X^2+X)/2, S_2(X) = (2*X^3+3*X^2+X)/6 ...

Méthode pour passer de S_n(X) à S_n+1(X) : 
 1) multiplier S_n par (son degré) n+1 et intégrer formellement,
 2) ajouter B_n+1 * X, (B_n+1 tel que S_n+1(1)=1 ou S_n+1(-1)=0).
  
Ceci peut être montré de différentes manières mais j'ai essayé de
trouver une démonstration directe élémentaire, courte, sans trop de
calculs.  
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Le polynôme S_0(X) = 1+X donne la somme 0^n+1^n+...+i^n+...+X^n
lorsque n=0 et X naturel, 
S_0(0)=0^0 et pour tout X réel on a X^0 = S_0(X)-S_0(X-1). 

n étant un naturel, je suppose qu'il existe un polynôme S_n(X)
tel que S_n(0)= 0^n  et  X^n = S_n(X) - S_n(X-1).  (a)

J'appelle P_n+1(X) le polynôme obtenu en intégrant formellement
S_n(X) et en multipliant par n+1, on a P_n+1(0) = 0. 
En transformant les deux membres de (a) (intégrer, multiplier par
n+1), on obtient     
     X^(n+1) = P_n+1(X) - P_n+1(X-1) + B_n+1  (b)
où B_n+1 = P_n+1(-1)= 1-P_n+1(1).  
Je définis alors S_n+1 comme étant le polynôme :      
     S_n+1(X) = P_n+1(X) + B_n+1 *X. (c)

S_n+1(0)=P_n+1(0) + B_n+1 *0 = 0.
S_n+1(X)-S_n+1(X-1)=P_n+1(X)+B_n+1 *X -P_n+1(X-1)-B_n+1*(X-1)
                   = P_n+1(X)-P_n+1(X-1)+B_n+1 
                   = X^(n+1).

S_n+1(X) obtenu ainsi est bien un polynôme qui vérifie S_n+1(0)=0
et S_n+1(X)-S_n+1(X-1) = X^(n+1). 
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Dans PARI/GP (décalage de l'indice n, S[1] correspond à S_0):
mx=6;S=vector(mx);S[1]=X+1;P=vector(mx);B=vector(mx);B[1]=1;
for(n=1,mx-1, P[n+1] = (n)*(intformal(S[n],X)); \
              B[n+1]= 1-subst(P[n+1],X,1); \
              S[n+1] = P[n+1]+B[n+1]*X);
for(n=1,mx,print("B_" n-1 " = "B[n]" \tS_" n-1 " = " S[n]));

B_0 = 1         S_0 = X + 1
B_1 = -1/2      S_1 = 1/2*X^2 + 1/2*X
B_2 = 1/6       S_2 = 1/3*X^3 + 1/2*X^2 + 1/6*X
B_3 = 0         S_3 = 1/4*X^4 + 1/2*X^3 + 1/4*X^2
B_4 = -1/30     S_4 = 1/5*X^5 + 1/2*X^4 + 1/3*X^3 - 1/30*X
B_5 = 0         S_5 = 1/6*X^6 + 1/2*X^5 + 5/12*X^4 - 1/12*X^2
 
J-P.

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