Morphismes de mots.

Un ensemble A, l'alphabet, dont les éléments sont appelés lettres..
(Prendre par exemple l'alphabet de 4 lettres A={a, b, c, d} ou l'alphabet binaire B={0,1}).

Les mots sont les suites finies (a₁, a₂, a₃,...,a_n) de lettres a_i de l'alphabet A. Le plus souvent les mots seront écrits sous la forme a₁a₂a₃...a_n, ce qui amène à identifier la simple lettre a et la suite (a) (c'est l'injection naturelle de A dans l'ensemble A^* des mots).
L'ensemble des mots est A^*.

L'opération de concaténation des mots : si u et v sont deux mots, u v = uv, c'est-à-dire (u) (v) = (uv), ou encore :
(a₁a₂a₃...a_n)   (b₁b₂b₃...b_p) = (a₁a₂a₃...a_nb₁b₂b₃...b_p).

Le mot vide est l'élément neutre, noté 1, de cette opération. 1w = w1 = w
La concaténation est associative.

Le monoïde libre A^* : La structure (A^* , concaténation) est une structure de monoïde.

Un morphisme f du monoïde M vers le monoïde N est compatible avec les opérations des deux monoïdes M et N et applique l'élément neutre 1_M du premier sur l'élément neutre 1_N du second.
f(u v) = f(u) f(v) et f(1_M) = 1_N.

Pour toute application h de l'alphabet A dans un monoïde M, il existe un unique morphisme f de A^* dans M et on a   h = f _° i, où i est l'injection naturelle de A dans A^*.
Et donc pour tout morphisme de A^* dans M, il suffit de donner les images des mots d'une seule lettre de A.

Par exemple l'alphabet ternaire {a, b, c}, le mot initial 'a' et le morphisme f : f(a) = abc, f(b) = ac, f(c) = b de A^* vers A^*.

Les liens comme celui-ci [Mus.] font entendre un air de musique composé automatiquement en utilisant le début du mot infini. Voir aussi la page récapitulative.

N'utiliser que des lettres minuscules ou des chiffres. Le nombre de morphismes est limité à 26.

[Mus.] Suite de Prouhet-Thue-Morse de mot initial 'a' et de morphisme 'a -> ab, b -> ba'.

[Mus.] 1ère étape : Initialiser : avec le mot 'a' et le morphisme ' a -> ab, b -> ac, c -> db, d -> dc'.
Construire un pot suffisamment grand avant de procéder à l'étape suivante pour terminer
2ème étape : Appliquez une fois le morphisme 'a -> +, b -> +, c -> -, d -> -'

[Mus.] Croissance d'une population de lapins. '0' représente un jeune lapin et '1' un lapin plus âgé. Utiliser le Morphisme pour simuler l'évolution de l'élevage de lapins.
Voir la page sur la suite de Fibonacci.

[Mus.] La suite dite de tribonacci est construite sur l'alphabet ternaire {1, 2, 3}, à l'aide du morphisme '1 -> 12, 2 -> 13, 3 -> 1' .    Initialisations.
(Voir aussi la suite A000073 de Sloane).

[Mus.] Il s'agit d'une utilisation détournée du programme, appliquée à la construction de la suite A005150, appelée Look and Say sequence.
Le premier terme est 1, le second est 'un 1' = 11, le troisième est 'deux 1' = 21, puis 'un 2 un 1'= 1211, etc.
Pour construire la suite cliquer : initialisation.
Notez les longueurs des mots successifs obtenus : A005341