Nombres narcissiques Narcisse et les rondes des naïades, ses sœurs
Mythologie grecque
Narcisse (le Caravage)
1) et 2) Selon "Les métamorphoses" d'Ovide
et d'autres sources, Narcisse est
un jeune homme d'une grande beauté qui repousse ses soupirantes dont la nymphe Echo
très éprise de lui. Ayant aperçu son reflet dans l'eau d'une source, il tombe amoureux de son image qu'il ne peut plus quitter du regard. Il dépérit et meurt.
À l'endroit de sa mort on vit éclore une fleur blanche.
3) Les nymphes éprises de la beauté d'Hylas qui puisait de l'eau
dans une cascade, l'enlevèrent. Malgré ses recherches Héraclès ne put le retrouver.
Dans cette page on trouvera
1) des nombres qui sont identiques à leurs images dont ils ne peuvent plus se détacher, ce sont les nombres narcissiques. (370 en est un, vous en trouverez d'autres sur le graphe de cette page).
Hylas et les Nymphes (J. W. Waterhouse 1896)
2) Les cercles des nymphes ou naïades, sœurs de Narcisse, seront alors ces cycles de nombres dont les images se reproduisent périodiquement (cherchez nymphe160, nymphe217 et nymphe352 sur le graphe de cette page, ou encore 136 et 244).
3) Tous les nombres restants seront attirés, en suivant les images successives, par l'un ou l'autre des k-cycles, comme jadis Hylas l'a été par un groupe de nymphes. (Jeu de piste : cherchez sur le graphe le chemin que parcourt Hylas115 jusqu'à la ronde de trois naïades qui l'aspire et l'engloutit).
Sommes digitales
Une transformation particulière
1) Prenez un nombre entier positif et écrivez sa décomposition décimale, par exemple N = 88593477.
Si N n'est pas nul vérifiez bien que le chiffre de gauche n'est pas un 0.
2) Comptez le nombre n de ses chiffres, dans l'exemple 88593477 est un nombre de n=8 chiffres.
Narcisse
3) Faites la somme T(N) de tous les chiffres élevés à la même puissance n :
T(N) = 8n +8n + 5n +9n +3n +4n +7n +7n
que vous pouves encore écrire
T(N) = 2 ×88 + 58 +98 +38 +48 +2 ×78
T(N) = 2 ×16777216+390625+43046721+6561+65536+2 ×5764801
T(N) = 88593477
T(N) = N ⋅⋅⋅ bien entendu cela n'arrive que très rarement !
Vous ne retrouverez pas chaque fois votre nombre de départ. Si N a plus d'un chiffre et est choisi au hasard, la coïncidence sera même rarissime.
L'algorithme T ci-dessus, transformera votre nombre N en un nombre T(N) le plus souvent différent du nombre N de départ.
Toutefois lorsque T(N) = N, votre N sera appelé nombre narcissique ou encore nombre plus que parfait et nombre d'Armstrong.
On démontre qu'il n'y a qu'un ensemble fini de nombres narcissiques, tous inférieurs à 1061. Les 88 nombres narcissiques non nuls ont tous été calculés. Le plus grand a 39 chiffres, en cliquant le bouton [Narcisse] de l'application, vous ferez apparaître l'un d'eux au hasard.
Entraînez vous ci-dessous à trouver des nombres narcissiques
Calculez
Graphe orienté
Circuits et boucles
L'image ci-dessous représente un petite partie du graphe infini orienté G dont l'ensemble X des sommets est
l'ensemble des entiers naturels et dont l'ensemble des arcs est l'ensemble des couples N -> T(N)
de la transformation définie au paragraphe ci-dessus.
(Les sommets du schéma sont les naturels jusqu'à 137 inclus et tous les successeurs).
Vous remarquez sur l'image quelques boucles et quelques circuits (plus souvent appelés cycles en dehors de ce contexte de théorie des graphes).
Les boucles correspondent aux nombres narcissiques (SDI, sommes digitales invariantes).
Détail d'une partie du graphe infini
Vols finis
En partant d'un sommet de ce graphe et en suivant le chemin, par exemple : 70 → 49 → 97 → 130 → 28 → 68 → 100 → 1
on observe parfois des variations importantes en montées et descentes des valeurs des sommets 70 \ 49 / 130 \ 28 / 100 \ 1.
Pour tout sommet du graphe infini dont l'image ci-dessus n'en représente qu'une infime partie, il existe trois possibilités :
— il peut être une boucle, comme 1, 2, ...,9
— ou un sommet d'un circuit, comme 160,
217,
352
— ou, en partant de ce point, l'origine d'un chemin qui débouche sur un point fixe ou sur un élément d'un cycle, comme c'est le cas pour 69.
La démonstration (demo) de la finitude des nombres d'étapes, de points fixes et de circuits sera détaillée juste aorès l'application qui suit et qui peut aider à mieux comprendre.
Calculs des vols
Les records de durée sont détenus par 69 et son correspondant 96 parmi les nombres à deux chiffres.
255, 282 et leurs correspondants 525, 552, 282, 822 parmi les trois chiffres.
et ensuite par 5589, 11949
qui débouchen sur un circuit de 12 nombres de huit chiffres,
(10156 n'est pas loin du précédent dont il emprunte aussi la majeure partie du trajet) et
40056,
368888, 3003688,
20223489,
10002999, etc.
Records de durées des vols
Cherchez sur le graphe les chemins qui vous conduisent en 17 étapes de 69 ou de 96 jusqu'à 370. Ce sont les plus longs obtenus en partant d'un entier de deux chiffres.
On cherche les durées des plus longs vols réalisés en partant des entiers naturels de n chiffres (n non nul) et en s'arrêtant au premier nombre narcissique ou au premier k-cycle rencontré.
Ces durées records sont indiquées par la suite
Les nombres à l'origine de ces vols records sont indiqués ci-dessous. 228 et 255 et tous les nombres obtenus en permutant leurs chiffres
conduisent à des vols records de durée 99 (les deux vols empruntent très rapidement le même trajet, le 99-ième itéré 586 appartient à un 10-cycle.
La liste des nombres narcissiques (A005188) est connue depuis de nombreuses années. Voir les liens du bas de page.
Voici le calcul réalisé la première semaine de mars 2009 jusqu'à n=60 chiffres (plus de 60 serait inutile) de l'ensemble des nombres narcissiques et des k-cycles de périodes inférieures ou égales à 50. Ces valeurs se trouvent dans un fichier texte [liste]. Un certain nombre de ces k-cycles sont totalement nouveaux.
Le premier tableau donne les nombres narcissiques, le second donne les k-cycles.
On peut démontrer (demo) assez simplement
qu'il n'existe qu'un nombre fini de points fixes et de cycles. Le principe est simple, vous l'avez peut-être découvert en jouant avec l'application ci-dessus.
La seule partie de niveau bac est un exercice classique, une étude des variations d'une fonction permet de montrer qu'une équation possède une racine unique sur un intervalle.
Cette partie peut être mise momentanément de côté.
1) De tous les nombres N de n chiffres, c'est N = 999...9 qui a la plus grande image T(N), ce qui nous donne un majorant M de T(N).
Essayez ces nombres 999...9 et
6941690...49.
2) Si un nombre N a 61 chiffres ou plus, alors T(N) a moins de chiffres que N. En cliquant sur Hasard, si le nombre initial a plus de 60 chiffres, vous remarquez que les premiers successeurs sont de plus en plus courts
3) Si N a 60 chiffres ou moins de 60 chiffres, alors T(N) n'a pas plus 60 chiffres. En cliquant sur Long chemin, vous remarquez que les longueurs des nombres sont très variables mais restent limitées (pas plus de 60 chiffres dans tous les cas).
4) Au bout d'un nombre fini k d'étapes l'un des nombres N, T(N), T^2(N)=T(T(N)), T^3(N), ..., T^r(N), ... a 60 chiffres ou moins ainsi que tous ceux qui viennent encore après. La système se met dans un cycle ou aboutit à un point fixe.
La suite ci-dessous indique les changements dans les différences des nombres de chiffres n de N=10n-1 et n-k de son image T(N).
De n=2 jusqu'à n=33, k=-1, N a un chiffre de moins que T(N), ensuite de n=34 jusqu'à n=60, k=0 le nombre de chiffres est le même. De n=61 à n=85, k=-1.
Cette suite donne des indications sur les nombres de chiffres comparés de N et de T(N) et donc sur un aspect du graphe de la transformation T. L'effondrement est plus violent pour les grands nombres, cette suite permet de majorer le nombre d'étapes nécessaires pour passer d'un nombre N de n chiffres à une image Tr(N) de 60 chiffres ou moins.
Changement d'espace de travail
La somme digitale ne dépend pas de l'ordre des chiffres dans l'écriture du nombre
Il peut paraître profitable de se placer dans l'ensemble des écritures, à l'ordre près des chiffres, dont la taille a une croissance polynomiale de degré 10 et non exponentielle de base 10.
Deux nombres N1 et N2 de même longueur n et de mêmes chiffres, pas nécessairement placés dans le même ordre, ont la même image T(N1) = T(N2).
Voir par exemple 55320147 et 25051743 .
Les nombres de naturels différents de n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... chiffres sont
Le quotient a(n+1)/a(n) est proche de 1 + 9/n et tend vers 1 à l'infini alors que ce quotient est de 10 pour la première suite.
En cumulant les termes de la suite précédente, on obtient le nombre de multi-ensembles de n éléments au plus pris parmi les dix chiffres de 0 à 9, non tous des 0. C'est le nombre de manières de choisir les
chiffres pour former tous les naturels non nuls de n chiffres au plus.
Ces deux dernières suites sont décrites à la page "Écritures décimales à l'ordre près des chiffres" qui a été écrite pour compléter celle-ci. On y trouve d'autres applications sur les nombres d'écritures des entiers, les nombres d'anagrammes de mots ou de nombres ainsi que des calculs de coefficients binomiaux ou multinomiaux sur des grands entiers.
La dernière suite (9, 63, 282, ...) a pour terme général (n+10)(n+9)...(n+1)/10! -n-1 est polynomiale de degré 10
alors que la suite des nombres d'entiers naturels de n chiffres est (à une unité près) l'exponentielle 10n.
Pour cette raison, il est préférable de se placer dans l'ensemble indépendant de l'ordre des chiffres.
Connaissant les chiffres, mais pas leur ordre, d'un point fise ou d'un élément d'un cycle,
on retrouve les valeurs exactes du point fixe ou du cycle en calculant seulement les images.
Les recherches de points fixes et de cycles se font dans l'ensemble des nombres de 60 chiffres au plus.
Il est donc préférable de rester dans un ensemble de 396704524155 et non 1060 éléments.
Crypto-narcisses
Les nombres crypto-narcissiques
Les nombres crypto-narcissiques doivent d'abord être codés avant d'effectuer la somme des puissances des chiffres. Le nombre 16797667 est l'un d'eux et le chiffrement consiste – pour lui – à prendre le complément à 9 de chaque chiffre. On obtient 83202332 qui a pour image le nombre de départ 16797667, vérifiez-le. Un autre exemple qui utilise le même code : 369361709285.
Le chiffrement se fait cette fois en utilisant la permutation circulaire 0 → 9, 1&arr; 0 ...9 &arr; 8 vous permettra de vérifier que 26, 126, 217, 729, 729, 4193, 24228197, 93509953, 2491591748 sont bien des crypto-narcisses.
Pour quelle autre permutation circulaire des chiffres a t-on les crypto-narcisses 20, 40, 440, 532, 35484, 40608, 40609, 255083, 7598985478, 7598985479, 11395062344, 34544790113, 37508531533.
Comment décoder un crypto-narcisse ?
En partant d'un seul nombre, la tâche peut être ardue, mais
si vous avez toute une famille de crypto-narcisses de même code et que plusieurs d'entre eux n'ont que deux chiffres,
vous aurez rapidement des informations utiles.
Ce sera le cas avec la famille
25, 36, 37, 64, 16777476, 16777477, 98079206, 98079207, 5409060621, 5714384598, 63178121995, 596913056230.
On remarque que a) 25 = 5^2 + 0^2 = 3^2 + 4^2, b) 36 = 0^2 + 6^2, c) 37=1^2 + 6^2, d) 64 = 0 + 8^2, sont les seules décompositions de ces quatre nombres de deux chiffres en sommes de deux carrés.
Les égalités b) et c) entraînent 3 → 6, ainsi que 6 → 0 et 7 → 1.
Ensuite d) donne 4 &rarr 8 et dans a) on utilise nécessairement 25 = 3^2 + 4^2 donc 2 et 5 ont pour images 3 et 4 mais l'ordre d'association n'est pas connu.
16777476 se code donc en ?0111810 où un chiffre est inconnu. Ce chiffre est nécessairement différent de 0, 1, 3, 4, 6, 8, on essaie donc 2, 5, 7 et 9 et on s'aperçoit que seul 2 convient. On en tire 1 &arr; 2. Le nombre 16777477 n'apporte quant à lui aucun nouveau renseignement.
C'est déjà un bon début, on a une grande partie du code :
sur la deuxième ligne, il ne reste que 5, 7, 8, 9, à placer et 3, 4 à préciser (codes de 2 et 5). En tout moins d'une cinquantaine de possibilités, une bagatelle, avant de trouver la réponse.
Puzzles
Voici d'autres crypto-narcisses dont les codes ont été perdus, vous devez les reconstituer. Évidemment deux chiffres identiques ont
le même code, deux chiffres différents ont des codes différents, vous devez donc découvrir pour chaque famille, comme dans l'exemple, une permutation de {0, 1, 2, ..., 9}.
Chaque série utilise le même code.
Imprimez ou téléchargez les deux fichiers pdf contenant chacun 20 (familles de) crypto-narcisses et un minimum d'explications, les réponses sont inscrites aux bas des pages.
[Puzzles I ] (familles 1-20)
[Puzzles II ] (familles 21-40)
Crypto-cycles
Les crypto-cycles (ou crypto-naïades)fonctionnent suivant le même principe, vous devez déterminer le code pour pouvoir passer d'un entier a l'autre et parcourir le cycle : 3628415702, 4924106526, 8632901023 (le code est une rotation du type x |--> x+k [mod 10] sur 0, 1, ..., 9 )
Documents - références - compléments - liens utiles
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A Recurring Digital Invariant variant
page qu'Éric Angélini consacre aux nombres narcissiques et aux k-cycles.
Vous y retrouverez à la fois des résultats et des liens vers d'autres pages web.
