Suite des nombres de Catalan

Description

Historique

C'est en dénombrant les décompositions d'un polygone régulier convexe en triangles, par des diagonales non sécantes, que E. Catalan introduit au début du 19^e siècle la suite de nombres qui porte maintenant son nom. À la même époque Binet s'intéressa au même problème. Au siècle précédent déjà, Segner (hongrois d'origine germanique) et Euler avaient abordé cete étude.
Le nombre de Catalan C_n donne le nombre de découpages d'un polygone de n+2 côtés en n triangles en traçant n-1 diagonales (lorsque n est au moins égal à 1).

Valeurs

Le début de la suite C_n est

. Cette suite est référencée A000108 dans lencyclopédie de N. J. A. Sloane.
Pour tout n entier naturel

La formule de récurrence

permet de calculer C_n lorsqu'on connaît n et C_n-1 (lorsque n > 0). C'est la méthode de calcul utilisée par l'application javascript ci-dessous.
La formule

exprime le nombre de Catalan C_n en fonction de tous ses précédents.
Par exemple

ou encore

Application

Quelques suites

Nombres de Catalan

  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 
  129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 
  4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 
  14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262,
  11959798385860453492, 45950804324621742364, 176733862787006701400, 680425371729975800390,

Nombres de chiffres des écritures décimales des nombres de Catalan

  1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 
  16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31,

Nombres de diviseurs premiers

  0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 7, 8, 8, 10, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 11, 13, 13, 14, 
  11, 13, 14, 14, 13, 14, 14, 16, 15, 16, 18, 19, 19, 19, 19, 21, 19, 20, 19, 21, 20, 21, 21, 21, 19, 20,

Nombres de diviseurs

  1, 1, 2, 2, 4, 8, 12, 8, 16, 16, 24, 32, 48, 72, 192, 96, 192, 256, 576, 512, 768, 768, 1024, 1152, 1152, 
  1728, 1536, 1536, 4096, 4096, 5120, 2048, 6144, 12288, 12288, 8192, 12288, 12288, 24576, 24576, 36864, 
  98304, 131072, 147456, 196608, 196608, 368640, 294912, 442368, 294912, 524288, 393216,

Calculs

Nombres de Catalan

Combinatoire

Les nombres de Catalan permettent de dénombrer un grand nombre d'objets mathématiques. En particulier C(n) est le nombre de

triangulations de polygones convexes de n+2 sommets à l'aide de n-1 diagonales non sécantes (à l'intérieur du polygone)
parenthésages binaires de n+1 termes : ((a+b)+c)+(e+f), a+(b+((c+e)+f)) ... C(4)=14
différents types d'arbres (des graphes) ou de chemins
chaînes de caractères de toutes sortes ou des suites finies d'entiers
certains types de permutations
certains types de partitions
etc.

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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.