Suite des nombres de Catalan

C'est en dénombrant les décompositions d'un polygone régulier convexe en triangles, par des diagonales non sécantes, que E. Catalan introduit au début du 19^e siècle la suite de nombres qui porte maintenant son nom. À la même époque Binet s'intéressa au même problème. Au siècle précédent déjà, Segner (hongrois d'origine germanique) et Euler avaient abordé cete étude.
Le nombre de Catalan C_n donne le nombre de découpages d'un polygone de n+2 côtés en n triangles en traçant n-1 diagonales (lorsque n est au moins égal à 1).

Le début de la suite C_n est . Cette suite est référencée A000108 dans lencyclopédie de N. J. A. Sloane.
Pour tout n entier naturel
La formule de récurrence permet de calculer C_n lorsqu'on connaît n et C_n-1 (lorsque n > 0). C'est la méthode de calcul utilisée par l'application javascript ci-dessous.
La formule exprime le nombre de Catalan C_n en fonction de tous ses précédents.
Par exemple ou encore

Nombres de Catalan

  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 
  129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 
  4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 
  14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262,
  11959798385860453492, 45950804324621742364, 176733862787006701400, 680425371729975800390,

Nombres de chiffres des écritures décimales des nombres de Catalan

  1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 
  16, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 

Nombres de diviseurs premiers

  0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 7, 8, 8, 10, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 11, 13, 13, 14, 
  11, 13, 14, 14, 13, 14, 14, 16, 15, 16, 18, 19, 19, 19, 19, 21, 19, 20, 19, 21, 20, 21, 21, 21, 19, 20, 

Nombres de diviseurs

  1, 1, 2, 2, 4, 8, 12, 8, 16, 16, 24, 32, 48, 72, 192, 96, 192, 256, 576, 512, 768, 768, 1024, 1152, 1152, 
  1728, 1536, 1536, 4096, 4096, 5120, 2048, 6144, 12288, 12288, 8192, 12288, 12288, 24576, 24576, 36864, 
  98304, 131072, 147456, 196608, 196608, 368640, 294912, 442368, 294912, 524288, 393216, 

Nombres de Catalan

n      

Suites des

Les nombres de Catalan permettent de dénombrer un grand nombre d'objets mathématiques. En particulier C(n) est le nombre de

• triangulations de polygones convexes de n+2 sommets à l'aide de n-1 diagonales non sécantes (à l'intérieur du polygone)
• parenthésages binaires de n+1 termes : ((a+b)+c)+(e+f), a+(b+((c+e)+f)) ... C(4)=14
• différents types d'arbres (des graphes) ou de chemins
• chaînes de caractères de toutes sortes ou des suites finies d'entiers
• certains types de permutations
• certains types de partitions
• etc.