Graphes probabilistes

Le graphe complet dessiné ci-dessous possède trois sommets ("tats) A, B et C et tous les neuf arcs possibles entre deux sommets distincts ou non.
Les neuf probabilités de passage entre deux états peuvent être entrées sur le schéma, ce sont les coefficients d'une matrice carrée M d'ordre 3 qui est la matrice de transition du graphe.

Modifier les probabilités associées aux arcs du graphe (probabilités de passage entre les états A, B ou C).

Les probabilités sont comprises entre 0 et 1.
La somme des probabilités associées aux trois arcs issus d'un même sommet est 1.
Lorsqu'un arc ne doit pas figurer dans le graphe, laisser la case en blanc ou mettre 0.

Indiquer les probabilités d'être en A, B ou C ou les effectifs en A, B et C comme expliqué plus bas.
Indiquer le nombre t d'itérations à effectuer.
Réaliser les t itérations pour obtenir les probabilités (ou les effectifs), t instants plus tard.

Aux états A, B, C, on peut associer à l'instant t des effectifs X(t) = [x1, x2, x3].
À l'instant t+1 on a X(t+1) = X(t) × M et à l'instant t+k, X(t+k) = X(t) × M^k.
En particulier X(t) = X(0) × M^t.

En indiquant les effectifs initiaux X(0) dans les cases associées aux états, l'applet calculera X(t) après t itérations.

Les valeurs initiales correspondent au données de l'activité 12 p. 278 d'un manuel de TES.
Les états A, B, C correspondent respectivement aux notations I (immunisé), M (malade) et S (ni malade ni immunisé) de l'exercice.
En changeant les probabilités et les effectifs (ou fréquences suivant le cas) on peut résoudre d'autres exercices.