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Nombres belges

Les nombres belges d'Éric Angelini

En prenant pour exemple le nombre entier N = 176, Éric Angelini construit la suite 0, 1, 8, 14, 15, 22, 28, ..., 176, ... dans laquelle les différences successives sont 1, 7, 6, 1, 7, 6, 1, 7, 6, ..., 1, 7, 6, ... ad vitam æternam.
On définit évidemment de même une suite pour tout nombre entier N strictement positif, de un ou plusieurs chiffres.

Définition

Un nombre est belge s'il est dans sa suite associée, (c.-à-d. construite suivant le principe décrit ci-dessus).

Exemple : 176 est belge car il est dans sa suite associée 1, 8, 14, 15,..., 176, ...

Indications : On voit immédiatement que pour un nombre N de n chiffres (abc...d) de somme des chiffres s=a+b+c+...+d, la suite belge est obtenue en imbriquant les termes de n suites linéaires ou affines de mêmes raisons s et dont les premiers termes sont les sommes 0 ou a ou a+b ou a+b+c ... des tous premiers chiffres à partir de la gauche de N.
Dans l'exemple N = 176, ces n=3 suites sont les suites arithmétiques de raisons 14 et de premiers termes 0, 1, 8 :
0, 14, 28, 42, ...
1, 15, 29, 43, ...
8, 22, 36, 50, ...
Comme 176 ≡ 8 (mod. 14), le nombre 176 est dans la troisième de ces suites et donc est belge.
Théorème :

Un nombre N est belge ssi le reste de la division de N par la somme s de ses chiffres est nul ou est la somme d'un ou de plusieurs des chiffres les plus à gauche (c.-à-d. en partant de la gauche), de l'écriture de N.


Démonstration : cf. les indications données plus haut et rédigez !

Remarque : Par abus de langage, on confond volontairement le chiffre x et le nombre x d'un seul chiffre. Ainsi, par exemple, le nombre 176 a trois chiffres 1, 7, 6, mais ce sont trois nombres 1, 7, 6 – et non des chiffres – qui sont additionnés dans 1+7+6 = 14 (on dit pourtant que la somme des chiffres de 176 est 14).

Testeur de nombres belges

Suite A106039
Inscrivez votre nombre entier positif N d'un ou plusieurs chiffres.

N

gp/pari :
isbelgian(n)={s=0;k=0;x=n;while(x>0,s+=x%10;x=(x-x%10)/10;k++);r=n%s;t=s;x=n;for(j=0,k,if(r==t,return(1));t-=x%10;x=(x-x%10)/10;);return(0);}
N=1000;v=vector(N);u=1;n=1;while(n<=N,if(isbelgian(u)==1,v[n]=u;n++);u++);print(v)

Construction de la suite des nombres belges

On peut énumérer et tester les entiers non nuls... pour obtenir la suite A106039

Limite


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,20,21,22,24,26,27,30,31,33,35,36,39,40,42,44,45,48,50,
53,54,55,60,62,63,66,70,71,72,77,80,81,84,88,90,93,99,100,101,102,106,108,110,111,112,114,...

Extensions de la suite aux nombres k-belges

En débutant la suite associée non par 0 mais par 1 ou 2 ou ... les nombres belges obtenus sont différents.
On pourra donc distinguer les 0-belges (ci-dessus) des 1-belges ou 2-belges ou ... obtenus à partir des nouvelles définitions.
Comme pour les nombres belges on pourra s'amuser à démontrer le théorème suivant qui permet de caractériser aisément les nombres k-belges d'Éric, sans calculer la suite associée.

Théorème :

Un nombre N est k-belge ssi le reste de la division de N-k par la somme s des chiffres de N est nul ou est la somme d'un ou de plusieurs des chiffres les plus à gauche (c.-à-d. en partant de la gauche), de l'écriture de N.


Limite    k   


0) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,20,21,22,24,26,27,30,31,33,35,36,39,   A106039
1) 1,10,11,13,16,17,21,23,41,43,56,58,74,81,91,97,100,101,106,110,111,113,115,  A106439
2) 2,10,11,12,15,16,20,22,25,26,32,38,41,42,46,67,72,82,86,91,95,,100,101,102,  A106518
3) 3,10,11,12,14,15,21,23,30,31,33,34,35,39,47,51,52,59,63,69,73,75,78,94,100,  A106596,
4) 4,10,11,13,14,20,21,22,24,25,31,32,37,40,43,44,51,54,57,64,65,76,82,84,87,   A106631
5) 5,10,11,12,13,29,38,45,50,52,53,55,61,100,101,102,110,111,114,120,121,124,   A106792
6) 6,10,11,12,20,21,22,23,24,28,30,33,34,36,41,42,46,49,58,60,61,62,66,68,73,   A107014,
7) 7,10,11,21,27,29,31,32,37,41,56,70,71,77,85,94,100,101,103,106,110,111,112,  A107018
8) 8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,26,28,31,35,40,42,43,44,48,53,62,   A107032
9) 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,25,27,30,32,33,36,45,51,54,57,63,67,69,   A107043

gp/pari :
iskbelgian(n,k)={s=0;m=0;x=n;while(x>0,s+=x%10;x=(x-x%10)/10;m++);r=(n-k)%s;t=s;x=n;for(j=0,m,if(r==t,return(1));t-=x%10;x=(x-x%10)/10;);return(0);} for(k=0, 9,\ N=1000;v=vector(N);u=k;n=1;while(n<=N,if(iskbelgian(u,k)==1,v[n]=u;n++);u++);print(v);\ print("------------------")) quit;

Suite des nombres self-belges de type 1

Calcul de la suite de type 1

Soit k le premier chiffre (celui de gauche) du nombre N. Si N est k-belge, alors N est self-belge.

A107062 Union of sets of Belgian-k numbers for k = 0..9 which begin with k>,

Limite   


Testeur de type 1

G.E. : Vous pouvez utiliser des "grands entiers" dans l'application ci-dessous, c'est-à-dire des nombres comme 1234567891234567891 ou 12345678912345678911234567891234567891 ou d'autres ayant encore plus de chiffres (dans la limite des capacités de manipulation des chaînes de caractères par javascript et de mémoire de votre matériel).

Nombre    


Suite des nombres self-belges de type 2

Calcul de la suite de type 2

N est self-Belge de type 2, s'il est self-belge de type 1 et s'il est un préfixe du mot obtenu en concaténant les premiers termes de sa suite associée.

Limite   


Suite calculée jusqu'à 108
1,2,3,4,5,6,7,8,9,61,71,918,3612,5101,8161,12481,51011,248161,361213,5101111,7141519,8161723,

Calcul de la suite associée à un nombre N

Il s'agit de la suite associée à un N particulier, dans le cas de la construction de type 2, c.-à-d. la suite associée dont le premier terme est le premier chiffre du nombre N.
Le calcul est effectué par "brute force", en prenant les entiers les uns après les autres. Les résultats permettent d'envisager 9 suites.

N   Limite   


Testeur de type 2

G.E. : Vous pouvez utiliser des "grands entiers", comme par exemple 124816172324313336384245464952556164727 ou bien plus encore.

Nombre  



Chercheur de nombres belges de type 2

G.E. : Vous pouvez utiliser des "grands entiers", c'est-à-dire demander à obtenir des nombres de plusieurs centaines de chiffres
L'application ci-dessous utilise une propriété qui permet très simplement et rapidement de calculer tous les nombres belges de type 2, classés suivant la valeur de leur premier chiffre k.

Théorème :

Étant donné le chiffre k (un naturel de 1 à 9), on définit de manière unique le mot infini M en concaténant la suite dont le premier terme est k et dont les différences des termes consécutifs sont les chiffres successifs de M (les lettres du mot M sont des chiffres).
Les nombres belges de type 2 et de premier chiffre k sont parmi les préfixes de M, ceux qui sont k-belges.


Exemple : M = (5)(10)(11)(11)(12)(13)... = 510111112131415161819222327283334404149505961636568... est le mot infini obtenu en prenant k=5.
Les préfixes non vides sont "5", "51", "510", "5101", "51011", ... qui sont ou ne sont pas k-belges ("51" et "510" ne sont pas 5-belges, les trois autres le sont).
Les self-belges de type 2, dont le premier chiffre est 5, sont donc 5, 5101, 51011, ...


Premier chiffre de 1 à 9     Nbre maxi de chiffres

Uniquement le nombre de chiffres des éléments :

Uniquement le mot


Nombres premiers

On ne sait pas si l'ensemble des self-belges de type 2 est infini ou non. Seul un argument probabiliste peut inciter à penser que leur nombre est infini.
Les self-belges de type 2 sont – à ce qu'il semble – en grande majorité composés. En effet on ne connaît que très peu de nombres premiers qui soient aussi des self-belges de type 2, la liste complète jusqu'à 6×1019 est la suivante :
2, 3, 5, 7, 61, 71, 5101, 8161, 248161, 361213, ...
Les six candidats qui viennent ensuite sont premiers probables, voici les deux plus petits, les quatre autres ont 99, 389, 419, 836 chiffres :
61213151619202526323, 361213151619202526323, ... 
Il n'y a aucun autre premier ou premier probable jusqu'à 103000 (c.-à-d. parmi les self-belges2 de 3000 chiffres ou moins).

Additif Mai 2011 : Hans Havermann a calculé les 97550 premiers termes de la suite A107070. Il a trouvé 13 nombres premiers parmi les premiers éléments de cette suite. Hans a poursuivi les calculs et obtenu encore 6 premiers probables, le plus grand a 27867 chiffres.

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