Nombres de Keith

Tous les nombres de ce paragraphe, sont écrits en base 10.
Ce sont tous des nombres de Keith dans les bases indiquées.
Cliquez sur les nombres pour le vérifier (les résultats s'affichent dans les fenêtres ci-dessus).
En base 2 : 2, 3, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 143, 256, 285, 512, 569, 683, 1024, 1138, 1366, 2048, 2276, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 154203, 262144, 308405, 524288, 616810, 678491, 1048576, 1356981, 1480343, 2097152, etc.
En base 3 : 3, 5, 6, 7, 57, 102, 127, 206, 217, 677, 805, 840, 1486, 1680, 1887, 2090, 2834, 8329, 10145, 12866, 21127, 23002, 50782, 67925, 82685, 96841, 153861, 178852, 357896, etc.
En base 4 : 5, 7, 10, 15, 18, 29, 47, 113, 163, 269, 1150, 1293, 1881, 22173, 44563, 95683, 261955, 1179415, 1295936, etc.
En base 5 : 5, 9, 10, 11, 13, 15, 20, 22, 31, 40, 43, 53, 62, 71, 84, 93, 124, 154, 221, 483, 3044, 18748, 125973, 232085, 1705260, 2091605, 5616236, etc.
En base 6 : 8, 11, 16, 27, 37, 44, 74, 88, 111, 148, 185, 409, 526, 2417, 8720, 12154, 15268, 49322, 61587, 68444, 82833, 98644, 206356, 249549, 327001, 484512, 642437, 692928, 695659, 726975, 964225, 1210087, 2141228, 2282504, etc.
En base 7 : 8, 13, 16, 19, 24, 32, 40, 48, 57, 114, 125, 145, 171, 228, 285, 329, 342, 589, 1969, 2833, 4938, 30318, 43153, 168516, 336774, 375008, 652933, 1068018, etc.
En base 8 : 8, 11, 15, 16, 22, 24, 32, 37, 40, 48, 56, 59, 92, 123, 200, 251, 257, 400, 457, 893, 2761, 4040, 4547, 8392, 9161, 12833, 16784, 21225, 29617, 127126, 238244, 378733, 526117, 587524, 599333, 672549, 745765, 2176234, 2347267, 2593739, 5285583, etc.
En base 9 : 17, 21, 25, 42, 67, 81, 96, 101, 149, 162, 173, 202, 243, 303, 324, 346, 404, 405, 486, 519, 567, 648, 692, 732, 857, 1189, 1464, 2199, 4398, 11644, 18325, 33774, 34453, 37999, 70348, 92664, 141557, 256820, 263412, 326778, 349484, 526824, 535754, 579708, 1461987, 1519308, 1621052, etc.
En base 10 : Voir plus haut.
En base 11 : 13, 21, 26, 31, 39, 45, 52, 65, 83, 90, 262, 529, 545, 1058, 3711, 10439, 18732, 198008, 198758, 251759, 336987, 569063, 673974, 1010961, 1347948, 1684935, 1928153, 2538253, 3157869, etc.
En base 12 : 13, 17, 23, 26, 34, 37, 39, 52, 57, 65, 74, 78, 91, 104, 111, 117, 130, 143, 173, 305, 346, 581, 610, 928, 1162, 1275, 1509, 1754, 2666, 3508, 5262, 7016, 8374, 8485, 8770, 14588, 19259, 33186, 35509, 49916, 95291, 106558, 365491, 460582, 1458520, 1470720, 1723449, 1735649, etc.
En base 13 : 13, 25, 26, 31, 37, 39, 52, 62, 65, 78, 91, 99, 104, 117, 130, 143, 156, 161, 524, 542, 939, 1048, 1369, 1463, 1572, 1939, 1987, 9002, 16671, 18004, 19291, 23182, 25673, 55595, 72180, 224715, 447560, 537951, 643897, etc.
En base 14 : 20, 27, 29, 40, 58, 67, 87, 107, 116, 145, 174, 200, 400, 600, 647, 1294, 1941, 5885, 6923, 11770, 34286, 43329, 45059, 61918, 74541, 254596, etc.
En base 15 : 18, 29, 36, 43, 54, 72, 115, 151, 187, 249, 718, 1208, 3903, 6264, 7806, 13909, 26950, 42176, 91786, 95091, 96604, 98396, 99909, 250404, 441334, 803629, 926049, etc.
En base 16 : 23, 31, 46, 50, 77, 100, 123, 150, 200, 250, 274, 401, 409, 528, 548, 822, 1056, 1096, 1370, 1584, 1644, 1918, 2112, 2640, 3168, 3696, 5250, 5942, 10757, 11192, 11884, 48671, 90165, 102213, 163791, 180330, etc.
On ne sait pas si ces suites sont finies ou infinies.
Pour retrouver ces résultats et essayer aussi d'autres bases, téléchargez le petit programme en C 'keith.c', (il utilisela bibliothèque GMP, sources).
Compilez le en effectuant : cc -O2 -o keith keith.c -lgmp
Lancez par exemple : keith 5 (si vous désirez les nombres de Keith en base 5.
Si vous désirez trouver les nombres de keith à partir d'une certaine valeur minimum, faites par exemple :

                        keith 10 3389041747878384662
                        1       3389041747878384662      is a 10_Keith number  [ 74 ]

Les applications de ce type ne sont pas capables de trouver par elles-mêmes de grands nombres de Keith. Pour aller plus loin et trouver tous les nombres de Keith ayant exactement k chiffres a0,a1,a2, ...,ak-1 dont les valeurs sont positives (supérieure ou égale à 1 pour a₀) et inférieures strictement à la base b, on pose le problème sous forme d'équations diophantiennes à résoudre.
Dans la base b=10 pour k=4 chiffres on a les équations :

999 a_0 + 98 a_1 + 8 a_2 - 1 a_3 = 0
998 a_0 + 97 a_1 + 6 a_2 - 3 a_3 = 0
996 a_0 + 94 a_1 + 3 a_2 - 7 a_3 = 0
992 a_0 + 88 a_1 - 4 a_2 - 14 a_3 = 0
985 a_0 + 77 a_1 - 17 a_2 - 28 a_3 = 0
971 a_0 + 56 a_1 - 42 a_2 - 55 a_3 = 0
944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0
892 a_0 - 64 a_1 - 183 a_2 - 207 a_3 = 0
792 a_0 - 216 a_1 - 362 a_2 - 400 a_3 = 0
599 a_0 - 509 a_1 - 707 a_2 - 772 a_3 = 0
227 a_0 - 1074 a_1 - 1372 a_2 - 1489 a_3 = 0
...

dont l'obtention est expliquée plus loin.

On peut voir que plusieurs des premières équations n'ont pas de solutions.
(En effectuant par exemple 985*1 - 17*9 -28*9 >0 on voit que la 5ième équation n'a pas de solution).
La première équation intéressante est 944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0 qui accepte la solution a_0=1, a_1=5, a_2=3, a_3=7.
Obtenir ces équations est simple, en effet la suite a_0, a_1, a_2, a_3, (a_0+a_1+a_2+a_3), ... est une combinaison linéaire des quatre suites

1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4,  8, 15, 29,  56, ...
0, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 6, 12, 23, 44,  85, ...
0, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 7, 14, 27, 50,  96, ...
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, ...

En prenant par exemple les dernières valeurs 56, 85, 96, 108 ci-dessus, toutes au même rang 11 :
56 a_0 + 85 a_1 + 96 a_2 + 108 a_3 = 1000 a_0 + 100 a_1 + 10 a_2 + a_3 qui se transforme en
944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0

Le programme C [equations.c"] vous calcule ces équations mais reste limité à des petites valeurs de b et de k.
La commande utilisée pour les résultats ci-dessus était : equations 10 4