Suites u(kn) = k u(n), k fixé

Les suites $u(k\,n) = k\, u(n)$ sont définies pour une valeur de $k$ donnée.
$k\in \mathbb{Z}$ est une constante entière supérieure ou égale à $2$. La variable $n\in \mathbb{Z}_+$ est entière positive ou nulle, $u(n)\in \mathbb{Z}$ est entière, négative ou positive.

Si par exemple on a choisi de prendre $k=2$, la suite $u$ devra vérifier $ u(2\,n) = 2\, u(n)$, mais à priori on ne pourra rien dire de $u(3\,n)$ qui généralement ne sera pas égal à $3\,u(n)$. Par contre $u(4\,n)=4\,u(n)$ car $4=2^2$.

Un exemple avec $k=2$ : $u(0)=0$, $u(1)=1$, $u(2)=2$, $u(3)=0$, $u(4)=4$, $u(5)=2$, $u(6)=0$, $u(7)=1$, $u(8)=8$, $u(9)=0$, $u(10)=4$, $u(11)=2$, $u(12)=0$, $u(13)=1$, $u(14)=2$, $u(15)=0$, $u(16)=16$, $u(17)=2$, $u(18)=0$, $u(19)=1 \ldots$

Un autre exemple où l'on a pris $k=3$ : $u(0)=0$, $u(1)=1$, $u(2)=2$, $u(3)=3$, $u(4)=0$, $u(5)=1$, $u(6)=6$, $u(7)=3$, $u(8)=0$, $u(9)=9$, $u(10)=2$, $u(11)=3$, $u(12)=0$, $u(13)=1$, $u(14)=2$, $u(15)=3$, $u(16)=0$, $u(17)=1$, $u(18)=18$, $u(19)=3$, $u(20)=0$, $u(21)=9 \ldots$

Cas particuliers :
Les suites linéaires vérifient $u(k\,n) = k\, u(n)$.
lorsque la suite est linéaire, c'est-à-dire de la forme $u(n)=a\, n$, par linéarité on aura $u(k\,n)=k\,u(n)$ pour toute valeur $k$,.
Mais la réciproque n'est pas vraie, en effet les suites des deux premiers exemples ne sont pas linéaies en $n$.

Propriété : $u(0)=0$.

Propriété : si $n = m\,k^p$ avec $k\not| m$, (c.-à-d. $m$ n'est pas multiple de $k$), alors $u(n)= k^p\,u(m)$.
par exemple, si $k=2$ et $u(k\,n) = k\, u(n)$, alors $u(40)=u(5\times 8)=u(5.2^3) = 2^3\,u(5)=8\,u(5)$.

Indiquer les valeurs de $k$ (coefficient des homothéties) et la valeur $M$ qui est la limite maximale de l'indice $n$ de la suite.

Les familles prédéfinies de suites sont [Ident] l'identité $n\mapsto u(n)=n$ ; des suites croissantes par paliers [C1], [C2] et [C3] ; une suite telle que $k=2$, $u(4\,p-1)=2$ et $u(4\,p+1)=4\,p-3$ [EA1] ; une suite telle que si $n$ n'est pas multiple de $k$ alors $u(n)=s$ [sol], (il reviendrait au même de placer cette valur de $s$ dans la liste ou dans la formule un peu plus loin ci-dessous) ; une suite pour laquelle $u(n)$ est pris au hasard entre $-h$ et $h$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$ [Hasard].

La [liste] est la liste (cyclique) des valeurs de $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$.

La [Formule] de la variable $n$ est utilisée pour calculer $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$. On peut utiliser les variables $k$ et $M$ dans la formule ainsi que les fonctions mathématiques du javascript.

$k$=     $M$=         
Familles prédéfinies
            $s$=    $h$= 

Introduisez la liste des valeurs de u(n) pour $n$ non multiple de $k$ (uniquement).
 


Ou entrez une formule dont la variable est $n$, (ce sera la valeur de $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$).