Algorithme de Kaprekar
Description
Algorithme de Kaprekar
Le mathématicien indien D.R. Kaprekar s'est intéressé depuis son enfance aux nombres.
Il a inventé l'algorithme suivant :
1) prendre un nombre quelconque K de quatre chiffres, 2) écrire les chiffres de ce nombre dans l'ordre décroissant ou dans l'ordre croissant pour construire deux nombres n et m. 3) Calculer la différence K' = n-m,
1 bis) recommencer le procédé en prenant cette fois K' à la place de K...
par exemple K = 7284 conduit aux étapes suivantes. Étape 1 : 8742 - 2478 = 6264, étape 2 : 6642 - 2466 = 4176, étape 3 : 7641 - 1467 = 6174, étape 4 : 7641 - 1467 = 6174...
On s'aperçoit à ce moment que le nombre 6174 se succède indéfiniment à lui-même. Le point fixe 6174 est appelé constante de Kaprekar.
Vous pouvez essayer d'autres valeurs de K à l'aide de l'application ci-dessous et vous pourrez remarquer que l'algorithme de Kaprekar conduit très souvent au nombre 6174 (en partant d'un nombre K de quatre chiffres).
L'algorithme se généralise à tous les entiers positifs d'un nombre quelconque de chiffres.
Il a inventé l'algorithme suivant :
1) prendre un nombre quelconque K de quatre chiffres, 2) écrire les chiffres de ce nombre dans l'ordre décroissant ou dans l'ordre croissant pour construire deux nombres n et m. 3) Calculer la différence K' = n-m,
1 bis) recommencer le procédé en prenant cette fois K' à la place de K...
par exemple K = 7284 conduit aux étapes suivantes. Étape 1 : 8742 - 2478 = 6264, étape 2 : 6642 - 2466 = 4176, étape 3 : 7641 - 1467 = 6174, étape 4 : 7641 - 1467 = 6174...
On s'aperçoit à ce moment que le nombre 6174 se succède indéfiniment à lui-même. Le point fixe 6174 est appelé constante de Kaprekar.
Vous pouvez essayer d'autres valeurs de K à l'aide de l'application ci-dessous et vous pourrez remarquer que l'algorithme de Kaprekar conduit très souvent au nombre 6174 (en partant d'un nombre K de quatre chiffres).
L'algorithme se généralise à tous les entiers positifs d'un nombre quelconque de chiffres.
Autres algorithmes
Trois algorithmes sont introduits ici pour être comparés à l'algorithme de Kaprekar, les suites obtenues mènent à des points fixes ou à des cycles (suites ultimement périodiques).
L'un des algorithmes possibles consiste à "retourner" le nombre K en réécrivant ses chiffres dans l'ordre inverse. Le plus grand de K et de son retourné donne n, l'autre étant m. On a donc bien K' = n-m positif.
L'algorithme dit "alterné", mélange d'une certaine façon les chiffres du nombre.
L'algorithme dit "Pair/Impair" opère comme l'algorithme de Kaprekar, à la différence près que les chiffres de rangs pairs sont permutés avec les suivants (s'il a un suivant).
Vous pouvez observer les suites obtenues à l'aide le l'application ci-dessous.
L'un des algorithmes possibles consiste à "retourner" le nombre K en réécrivant ses chiffres dans l'ordre inverse. Le plus grand de K et de son retourné donne n, l'autre étant m. On a donc bien K' = n-m positif.
L'algorithme dit "alterné", mélange d'une certaine façon les chiffres du nombre.
L'algorithme dit "Pair/Impair" opère comme l'algorithme de Kaprekar, à la différence près que les chiffres de rangs pairs sont permutés avec les suivants (s'il a un suivant).
Vous pouvez observer les suites obtenues à l'aide le l'application ci-dessous.
Application
Documents - références - compléments - liens utiles
Procédé ou Cycle de Kaprekar Gérard Villemin.
Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 1988) est un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l'algorithme de Kaprekar. Boudé par ses contemporains, ses travaux seraient passés inaperçus s'il n'avai(en)t pas été relayés par Martin Gardner spécialiste des énigmes mathématiques. (Article en français de Wikipedia).
Investigations into the Kaprekar Process Robert W. Ellis & Jason R. Lewis, October 27, 2002.
Searching for Kaprekar's Constants: Algorithms and Results Byron L.Walden, 7 April 2004
Kaprekar Series
Dattatreya Ramachandra Kaprekar Biography by: J J O'Connor and E F Robertson. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
L'algorithme de Kaprekar sur "mathenjeans.free.fr" par deux élèves de Terminale C (1991).
Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 1988) est un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l'algorithme de Kaprekar. Boudé par ses contemporains, ses travaux seraient passés inaperçus s'il n'avai(en)t pas été relayés par Martin Gardner spécialiste des énigmes mathématiques. (Article en français de Wikipedia).
Investigations into the Kaprekar Process Robert W. Ellis & Jason R. Lewis, October 27, 2002.
Searching for Kaprekar's Constants: Algorithms and Results Byron L.Walden, 7 April 2004
Kaprekar Series
http://kaprekar.sourceforge.net
.
Dattatreya Ramachandra Kaprekar Biography by: J J O'Connor and E F Robertson. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
L'algorithme de Kaprekar sur "mathenjeans.free.fr" par deux élèves de Terminale C (1991).
Pour un premier contact, [utilisez ce formulaire] ou utilisez l'adresse de messagerie qui y figure. Merci d'indiquer la page précise du site "http//jm.davalan.org/...", cela m'aidera beaucoup. Ne joignez aucun document à votre message.
Jeux-et-Mathématiques n'est pas un site commercial. Aucun des liens placés sur ce site n'est rémunéré, ni non plus aucune des informations données.
Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige éventuellement votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.
© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2014Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige éventuellement votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.
J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.