Fractions
Longueur de la période de l'écriture décimale illimitée d'un rationnel

Autre page : Calcul d'une fraction connaissant l'écriture décimale illimitée périodique d'un rationnel.

Exemple 1/2009

Description

Tout rationnel r peut s'écrire sous la forme d'une fraction p/q, réduite ou non, (où p et q sont deux entiers, q non nul, q > 0).
Lorsque q = 1, le rationnel est r = p/1 = p, c'est un entier,
Lorsque r = p/10^k, la fraction est décimale et r est un nombre décimal.
Dans les cas particuliers précédents, r possède deux écritures périodiques illimitées.
Par exemple r = 3/5 = 0,6 est un nombre décimal, ses deux écritures illimitées sont 0,60000... et aussi 0.59999.... Idem avec r = p/q = 26/2 = 13/1 = 13 entier.
Dans tous les autres cas, le nombre rationnel r n'est pas décimal et possède une seule écriture décimale illimitée périodique (autre que 000... ou 999...).
Par exemple 123/70 = 1.757142857142857142857142857142... = 1.7[571428] dont la (plus petite) période est de longueur 6.

Le but principal de cette page est de déterminer la longueur de la période de la fraction étudiée, en décrivant par le détail la démarche et les calculs. Toutefois lorsque la longueur de période ne dépasse pas 3000, l'écriture décimale périodique est affichée.

Remarques :Si vous vous contentiez de calculer chiffre après chiffre le quotient tout en scrutant les restes successifs, vous obtiendriez évidemment une période et sa longueur ! Mais vous ne sauriez pas grand chose en démarrant le calcul qui peut s'avérer fastidieux ou même tout simplement irréalisable. Prenons par exemple 1/5402154789871, êtes-vous vraiment prêt à calculer – au pire – 5402 milliards de décimales ? Ou même seulement les quelques 20 milliards de décimales de la période ? Ce n'est en tout cas pas la méthode utilisée dans cette page pour obtenir la longueur de période 20308637988.

La recherche et l'étude des propriétés des périodes seront éventuellement l'objet d'une autre page.

La première application ci-dessous n'accepte que des fractions comme 509 / 6300 dont les dénominateurs ont leurs diviseurs premiers « pas trop grands » (Les facteurs premiers du dénominateur doivent être inférieurs à 800 000, dans la version actuelle).
La seconde n'accepte que des écritures décimales illimitées sous la forme 31.47[138518] à condition qu'elle ne soit "pas trop longue", (221.150[158742135411] est proche du maximum de taille).

Chaque application communique ses résultats à l'autre lorsque la taille des données est compatible, ce qui permet alors de vérifier la concordance des valeurs.

Application

Exemples

A - Étude des fractions : 1) 625730 / 7010800; 2) 245871 / 150043509; 3) 39 / 4000; 4) 693 / 2816; 5) 1 / 9473464; 6) 1048576 / 3486784401; 7) 1 / 3203369034445969; 8) 898456201 / 344693212026; 9) 479433 / 797921; 10) 1 / 487; 11) 21745842154 / 373541175; 12) 134115298543 / 121881710479023; 13) 25937424601 / 3339776203056; 14) 815730721 / 795808994475
Les trois exemples 15, 16 et 17 suivants donnent les valeurs de la suite "A007732 Period of decimal representation of 1/n" de N.J.A. Sloane On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Voir aussi la suite A001913. 15) Calcul des périodes de 1/n pour n variant de 1 à 50 16) pour n variant de 51 à 100, 17) dans l'intervalle . Cherchez des correspondances aux autres suites à la page O.E.I.Sequences.

B - Indiquez les bornes d'un intervalle et une relation Rel(n, Lp) de n et de la longueur Lp, pour obtenir la suite des entiers n dont l'inverse a une période décimale de longueur Lp vérifiant la relation Rel(n, Lp) :

Exemples : 1) Lp <= (n-1)/5; 2) Lp <= sqrt(n); 3) Lp>=(n-1)/7 && Lp<=(n-1)/2;

C - Entrez ci-dessous une écriture décimale illimitée périodique, vous obtiendrez la fraction égale qui sera étudiée ensuite par l'application précédente.

Écriture décimale illimitée périodique : Détails;

1) 0.[076923] 2) 0.[692307] 3) 0.[461538] 4) 0.[153846] 5) 0.[037] 6) 0.[074] 7) 0.[148] 8) 0.[185] 10) 0.[012345679] 11) 0.[123456790] 12) 0.[054] 13) 0.[405] 14) 0.[540] 15) 0.[450]

Exemple détaillé - Méthode

[Affiche / Masque]

Décrivons la méthode utilisée en prenant pour exemple la fraction r = 625730/7010800 (Cliquez sur la fraction pour déterminer la longueur de la période).

1) En premier, on cherche à simplifier la fraction pour obtenir une fraction irréductible
Dans notre exemple, la fraction peut être simplifiée par 10 et s'écrit r = 62573/701080
Dans certains cas, on obtient un entier et l'algorithme s'arrête.

2) La seconde étape est celle de la factorisation du dénominateur afin d'obtenir son écriture primaire.
Lorsque les seuls diviseurs premiers sont 2 ou 5, la fraction est une fraction décimale (r est un décimal) et on arrête la recherche.
L'écriture primaire du dénominateur de notre exemple est q = 701080 = 2^3 . 5 . 17 . 1031 Vous remarquez des diviseurs premiers autres que 2 et 5, ce sont 17 et 1031, la fraction proposée n'est pas une fraction décimale.

3) Dans cette troisième étape on décompose r en une somme composée d'un entier (négatif ou positif, éventuellement nul) et de fractions dont les dénominateurs correspondent aux facteurs de l'écriture primaire précédente. Ces fractions sont positives et strictement inférieures à 1 (leur numérateur est un nombre entier inférieur au dénominateur).
La somme de notre exemple est r = -2 + 7/8 + 3/5 + 2/17 + 512/1031

un entier -2
des fractions + 7/8 + 3/5 dont le dénominateur est une puissance de 2 ou de 5, leur somme est un décimal 7/8 + 3/5 = 7/8 + 75/125 = la fraction décilale 1125/1000 = 1,125.
On peut en déduire que la partie périodique du nombre étudié, débute au quatrième chiffre à droite de la virgule.
des fractions 2/17 + 512/1031 dont les dénominateurs sont des puissances de nombres premiers autres que 2 ou 5

4) Dans cette quatrième étape, on étudie les périodes des fractions dont les dénominateurs d = p^k sont des puissances de nombres premiers p autres que 2 ou 5. (le dénominateur d et 10 sont étrangers c.-à-d. premiers entre eux et 10^(d-1) = 1 mod. d).
Il existe un plus petit nombre t non nul et diviseur de d-1, tel que 10^t = 1 mod. d.
Il existe un plus grand entier r tel que 10^t = 1 mod. d^r.
D'après les recherches de Helmut Richter, pour p< 2*10^11, ce nombre r vaut 1, sauf lorsque p=3, p=487 ou p=56598313 pour lesquels r=2. (Suite A045616 de NJAS).

Lorsque R<=r, la longueur de la période de 1/d^R est t
Lorsque R>r, la longueur de la période de 1/d^R est t (p-1)^(R-r)

Dans notre exemple 2/17 a pour longueur de période 16 (qui vaut 17-1) et 512/1031 a pour longueur de période 103 (qui est un diviseur de 1030) La longueur de la période cherchée est le plus petit multiple commun des longueurs des périodes des différents termes, dans notre exemple le ppcm de 16 et de 103 est leur produit 1648.
[Masque]

Documents - références - compléments - liens utiles

Recherches Arithmétiques traduction en 1807 par A.-C.-M. Poullet-Delisle du livre "Disquitiones arithmeticae" de C. F. Gauss paru en 1802. Le livre est disponible aux éditions Jacques Gabay.

GDZ si vous prérérez lire Gauss dans le texte latin.

DJVU Le même texte, converti dans un autre format par Antoine Chambert-Loir

The period length of the decimal expansion of a fraction by Helmut Richter. The Prime Factors Of 10⁴⁸⁶-1.

NJAS A045616 3, 487, 56598313 : Primes p such that decimal fraction 1/p has same period length as 1/p^2.

Decimal Periods and their Tables: A Research Topic (1765-1801) Materials on the Genesis of the Disquisitiones Arithmeticae, Part IIb - Maarten Bullynck
In the beginning of the 18th century, several mathematicians noted regularities in the decimal expansions of common fractions. Rules of thumb were set up, but only from 1760 onwards appear the first essays that try to establish a coherent theory of periodic decimal fractions. Johann Heinrich Lambert was the first to devote two essays to the topic, but also his colleagues at the Berlin Academy, J. III Bernouilli and J.L. Lagrange, spent time on the problem. With J. III Bernouilli and K.F. Hindenburg, the production of decimal period tables is envisaged, and finally in 1797-1801 the young C.F. Gauss, informed of these developments, bases the whole theory on firm numbertheoretic foundations, solving thereby the open problems left by the mathematicians

Notes

1) Un fichier au format .djvu du livre "Recherches Arithmétiques" de Gauss est disponible sur ce site. [Récupérer]
Cette version djvu est moitié moins lourde (6 Mo) que celle proposée plus haut dans les liens (14 Mo) déjà moindre que la version pdf (22 Mo). Ce fichier est de qualité suffisante pour une lecture sur écran et bien plus maniable.
On peut utiliser windjviewer sous Windows et djview, evince... sous Linux.

2) La version actuelle de cette page importe une liste les différences des nombres premiers successifs inférieurs 800 000. Il est donc normal de devoir attendre un certain temps avant de pouvoir utiliser les applications.

3) Faites-moi connaître les bugs. J'essaierai de les corriger en mettant au point ultèrieurement une nouvelle version de l'application.