Crible géométrique utilisant une hyperbole(*)

L'hyperbole H d'équation y=k/x est tracée dans un repère orthonormé. Les produits m × n de deux naturels m et n sont obtenus à l'aide d'une règle et d'une équerre.
(m et n pourraient être des réels mais seuls les naturels nous intéressent ici).
Comme application on fera apparaître l'ensemble des nombres premiers sur l'axe vertical du repère.


On trace la droite D = (AB) passant par les deux points A et B d'abscisses respectives m et n de H. (Si m=n, la droite D est tangente à H).
La perpendiculaire L à D, passant par P (-k, 0) coupe l'axe vertical (Oy) en M d'ordonnée m × n.

La démonstration est simple et rapide :
La droite D = (AB) a pour pente (k/n -k/m)/(n-m) = -k/(mn) et donc sa perpendiculaire L a pour pente mn/k.
On en déduit que le point d'intersection M de L et de (Oy) a pour ordonnée mn.

Lorsque toutes les droites L sont tracées pour toutes les valeurs entières de m et n à partir de 2, les nombres premiers sont visibles sur l'axe (Oy), ce sont les points où ne passent aucune droite L.

Crible des nombres premiers

Remarques :
La droite D coupe l'axe (Ox) en un point F d'abscisse m+n. Elle coupe (Oy) en un point E d'ordonnée k(1/m+1/n) = k(m+n)/(mn).
E est l'orthocentre du triangle PMF car (MO) et (AB) sont deux hauteurs, d'où (PE) est orth. à (MF).

On peut aussi utiliser les points A et B d'abscisses -m et n, le principal avantage est de ne pas avoir à tracer de tangente lorsque m = n, contrairement à ce qu'il se passe dans le cas de la parabole où la figure se trouve réduite de moitié, ici elle double de taille : Figure