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Crible géométrique utilisant une hyperbole(*)


Description

L'hyperbole H d'équation y=k/x est tracée dans un repère orthonormé. Les produits m × n de deux naturels m et n sont obtenus à l'aide d'une règle et d'une équerre.
(m et n pourraient être des réels mais seuls les naturels nous intéressent ici).
Comme application on fera apparaître l'ensemble des nombres premiers sur l'axe vertical du repère.


On trace la droite D = (AB) passant par les deux points A et B d'abscisses respectives m et n de H. (Si m=n, la droite D est tangente à H).
La perpendiculaire L à D, passant par P (-k, 0) coupe l'axe vertical (Oy) en M d'ordonnée m × n.

hyperbole


La démonstration est simple et rapide :
La droite D = (AB) a pour pente (k/n -k/m)/(n-m) = -k/(mn) et donc sa perpendiculaire L a pour pente mn/k.
On en déduit que le point d'intersection M de L et de (Oy) a pour ordonnée mn.

Lorsque toutes les droites L sont tracées pour toutes les valeurs entières de m et n à partir de 2, les nombres premiers sont visibles sur l'axe (Oy), ce sont les points où ne passent aucune droite L.

Crible des nombres premiers


Remarques :
La droite D coupe l'axe (Ox) en un point F d'abscisse m+n. Elle coupe (Oy) en un point E d'ordonnée k(1/m+1/n) = k(m+n)/(mn).
E est l'orthocentre du triangle PMF car (MO) et (AB) sont deux hauteurs, d'où (PE) est orth. à (MF).

On peut aussi utiliser les points A et B d'abscisses -m et n, le principal avantage est de ne pas avoir à tracer de tangente lorsque m = n, contrairement à ce qu'il se passe dans le cas de la parabole où la figure se trouve réduite de moitié, ici elle double de taille : Figure


Clin d'oeil au procédé de Yuri Matiiassevitch et Boris Stechkin qui utilisent une parabole.

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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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