Carrés gréco-latins

Les carrés gréco-latins sont présents sur une autre page du site, sous la forme d'un carré à compléter à l'aide de seize cartes à jouer. Si on avait plus de quatre couleurs carreau, cœur, trèfle, pique, on pourrait construire un puzzle de 25, 49 etc. cartes.

1 –   Prenez un ensemble E de n éléments, par exemple n=5 et E = {a, b, c, d, e}
2 –   Prenez un carré C de n × n cases.
3 –   Placez les n éléments de E dans les n cases de la première ligne du carré C.
4 –   Placez les n éléments de E dans les n cases de la deuxième ligne. Mais attention, chaque élément doit être différent de celui qui est dans la case au-dessus.
  –   Placez les n éléments de E dans les n cases de la troisième ligne. Chaque élément doit être différent de ceux qui sont dans les cases placées au-dessus.
  –   Continuez à remplir les lignes, l'une après l'autre. Les éléments de E doivent être présents une fois et une seule sur chaque ligne et une fois et une seule sur chaque colonne.

Côté n =          Forme réduite 

Exemples
1 –   Les lois des groupes donnent des carrés latins (mais les carrés latins ne sont pas tous des groupes comme vous pouvez l'observer ici dans de nombreux cas).
Chaque carré latin obtenu ci-dessus peut être considéré comme une table d'opération (table de Pythagore ou de Cayley) des éléments dans l'ordre alphabétique de E = {a, b, c...}. (Habituellement ils sont placés à gauche et au-dessus du carré).
Les propriétés de cette loi sont indiquées le cas échéant.
(Ces tests sont effectués lorsque vous cliquez sur le bouton [Aléatoire]).

2 –   Les sudokus sont des carrés latins d'ordre 9, dont les éléments sont les entiers de 1 à 9. Ils ont une propriété supplémentaire, chacune des neuf boites intérieures contient les éléments de 1 à 9 une fois et une seule chaque. Des livrets à imprimer de grilles de sudokus sont disponibles ici. (Les grilles sont renouvelées automatiquement chaque jour, les solutions sont indiquées en fin de livret).

Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque vous ne pouvez pas trouver dans deux cases différentes, à la fois les mêmes éléments de A et de B.
Pour tous i, j, u, v, on a A(i, j) ≠ A(u, v) ou B(i, j) ≠ B(u, v)

Il existe pour certaines valeurs de n, des familles de plusieurs carrés latins deux à deux orthogonaux. Lorsqu'il existe un corps fini de n éléments, il existe des familles de n-1 carrés latins deux à deux orthogonaux, leur construction est détaillée plus bas dans cette page.


En juxtaposant les éléments de deux carrés latins orthogonaux A et B dans les cases du même carré C et dans l'ordre A avant B, on obtient un carré gréco-latin dont les éléments sont C(i,j) = A(i, j) B(i, j).
Les deux carrés latins choisis sont orthogonaux si et seulement si le carré C a toutes ses cases différentes.

La dénomination "carré gréco-latin" vient de l'habitude qu'avait Euler de prendre des lettres grecques pour écrire le carré A et des lettres latines pour le carré B. Les cases du carré C contiennent donc chacune une lettre grecque et une lettre latine.
La lettre grecque d'une case est différente de toutes les autres lettres grecques de sa ligne et de sa colonne. Idem, la lettre latine d'une case est différente de toutes les lettres latines de sa ligne et de sa colonne.

Des exemples de carrés gréco-latins se trouvent plus bas sur la page (cliquez ici sur le bouton [ Calcule] ou plus bas pour obtenir un carré gréco-latin)

Les corps finis à q éléments (q au moins égal à 2) n'existent que si et seulement si q est de la forme q = p^a où p est un naturel premier et où l'exposant a est un naturel au moins égal à 1. Ces corps sont tous commutatifs.
Deux corps finis ayant un même nombre q d'éléments sont isomorphes. (Ils sont en un certain sens identiques, on passe de l'un à l'autre en permutant les éléments).
Lorsque q = p premier, ce corps est Z_/pZ = Z_p.

Si vous ne connaissez pas Z_p ={0, 1, 2..., p-1}, allez lire le paragraphe du bas de page pour apprendre à additionner ou à multiplier dans Z_p.

Les corps Z_p pour p premier, sont très simples à construire, celà a été fait dans cette page. Cela n'a pas été réalisé ici pour le moment lorsque q = p² ou p³ ... ou p^α.

Lorsque Fq est un corps fini à q éléments on construit aisément q-1 carrés latins deux à deux orthogonaux.
Chaque couple de deux carrés carrés latins orthogonaux, nous donne un carré gréco-latin.

Les éléments ai,j des matrices Ak sont dans Fq,       ai,j = xi × xk + xj lorsque xk n'est pas nul et varie dans Fq.      (Avec x_i, x_k, x_j dans Fq)

Démonstrations de Bose (1938), Stevens (1939), construction déjà utilisée par E.H. Moore (1896).

On se place dans le corps Zp = {1, 2, 3, 4, ..., p-1, 0} où p est un nombre premier.

Écrivez un nombre premier p au moins égal à 3 car il faut construire deux carrés latins différents (et orthogonaux). Les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

n = p =

et choisissez deux entiers k₁ et k₂ différents l'un de l'autre et dont les valeurs vont de 1 à p-1 (inclus),

k1 =      k2 = (qui donnent les deux carrés aux lettres grecques et latines)

Si vous préférez avoir deux lettres latines et pas de lettre grecque, cochez la case :
(Attention, les deux alphabets sont différents et il n'y a pas de correspondance simple entre les lettres grecques et les latines qui les remplaceront).

On se place dans le corps Fq où q = pa est un nombre premier.
Non implémenté pour l'instant lorsque a>1.

Pour n > 0, Z_/nZ = Z_n est pour l'addition, le groupe additif modulo n. Pour l'addition et la multiplication modulo n, c'est un anneau.

Pour ceux qui ne connaissent pas (Z_n , +, ×) et qui voudraient tout de même savoir calculer sans passer plus d'une minute à apprendre.

Pour additionner ou multiplier dans Z_n, faites exactement comme dans N ou Z, c'est tout ou presque :
si le résultat est aussi grand que n ou plus, divisez-le par n et donnez seulement le reste de la division.


Exemple pour n=5 :
On écrira pour simplifier, l'ensemble Z₅ sous la forme Z₅ = {0, 1, 2, 3, 4}.
Il n'y a pas d'élément 5 ni no plus au delà. 0 est mis à la place de tous les nombres {0, 5, 10, 15... }. De même 1 est à la place de {1, 6, 11, 16, ...} etc.
Calculez 2+2 = 4, 1+2 = 3 ... c'est simple, puis 3+4 = 12 que l'on écrira plutôt 2, on a donc 3+4 = 2, on a 1+4 = 0 etc. Il en est de même pour la multiplication : 3*4 = 2 (car en divisant 12 par 5, le reste est 2 ou si vous préférez, 12 = 5 + 5 + 2)

Autres exemples:
Dans Z₇ 6 × 5 = 30 et 30 divisé par 7 a pour reste 2, donc dans Z₇ on a 6 × 5 = 2.
(C'est comme dans l'écriture 6 × 5 &equiv 2 mod. 7, mais si vous connaissez déjà cette notation, c'est qu'il n'y a plus rien à vous expliquer).