Suite de Fibonacci
Fonctions génératrices - Inverses magiques

En observant les écritures décimales des inverses de 89, 9899, 998999, 99989999 ... et en découpant la suite des chiffres décimaux en tranches, on fait apparaître les premiers nombres de Fibonacci :

    1/89         =   0. 0 1 1 2 3 5 955056... 
    1/9899       =   0.00 01 01 02 03 05 08 13 21 34 55 904636...
    1/998999     =   0.000 001 001 002 003 005 008 013 021 034 055 089 144 233 377 
                                                                       610 9885... 
    1/99989999   =   0.0000 0001 0001 0002 0003 0005 0008 0013 0021 0034 0055 
                          0089 0144 0233 0377 0610 0987 1597 2584 4181 67660947...
    1/9999899999 = ...

On obtient ainsi les six, onze, seize, vingt ... premiers nombres de Fibonacci.
Lorsque les nombres de Fibonacci ont plus de chiffres que ce qui est prévu, ils débordent et les retenues viennent modifier les tranches précédentes. Pour cette raison, seules les premières tranches correspondent à des nombres de Fibonacci.

Cherchons d'abord une fonction génératrice :

     x2 = F0x + (F1-F0)x2 + (F2-F1-F0)x3 +(F3-F2-F1)x4 +...
              (car F0=0, F1=1 et Fn+2-Fn+1-Fn=0)
              puis en développant et en regroupant différemment les termes
     x2 = (1-x-x2)F0x + (1-x-x2)F1x2 + (1-x-x2)F2x3 + (1-x-x2)F3x4 +...
     x2 = (1-x-x2) (F0x+F1x2+F2x3+F3x4+F4x5+... )

     x2/(1-x-x2) = F0x+F1x2+F2x3+F3x4+F4x5+...

Et aussi, en passant,  la fonction génératrice de la suite de Fibonacci
     x/(1-x-x2) = F1x+F2x2+F3x3+F4x4+... 

Ensuite il ne reste qu'à remplacer x par 1/10 ou 1/100 ou 1/1000 ... (ou remplacer x^-1 par 10, 100, 1000 ...) pour expliquer les observations :

     x2/(1-x-x2) = 1/(x-2-x-1-1)
               = 1/(t2-t-1)     avec t = 1/x = 10,100, 1000, ...

Exemple :

aven:~\> echo "scale=150;1/9999899999"|bc
.0000000001000010000200003000050000800013000210003400055000890014400\
23300377006100098701597025840418106765109461771128657463687502621394\
964211781614237

Essayez :
1) 1/89   2) 1/9899   3) 1/998999   4) 1/99989999   5) 1/9999899999   6) 1/999998999999

Divisions magiques

nombre de chiffres décimaux à afficher par tranches de chiffres

Dividende   <    Diviseur        

On obtient de même la suite de Lucas (N.J.A. Sloane A000032) qui, comme la suite de Fibonacci, vérifie à partir de n=1, u(n+1)=u(n)+u(n-1) :
1) 19/89   2) 199/9899   3) 1999/998999   4) 19999/99989999   5) 199999/9999899999   6) 1999999/999998999999
la suite de tribonacci (N.J.A. Sloane A000073) qui vérifie u(n+1)=u(n)+u(n-1)+u(n-2) à partir de n=2 :
1) 1/889   2) 1/989899   3) 1/998998999  
ou celle de tetranacci (N.J.A. Sloane A000078) qui vérifie u(n+1)=u(n)+u(n-1)+u(n-2)+u(n-3) à partir de n=3 :
1) 1/8889   2) 1/98989899   3) 1/998998998999  
et bien d'autres encore.