Allumettes de Banach.

Banach, qui était fumeur, avait deux boîtes d'allumettes, l'une dans la poche gauche, l'autre dans la poche droite.
Chaque fois qu'il allumait sa pipe, il puisait au hasard dans l'une des boîtes.
Immanquablement, au bout d'un certain temps, l'une des boîtes était vide alors que l'autre pouvait encore contenir quelques allumettes. Combien d'allumettes ?

On suppose que les deux boîtes sont changées simultanément et qu'elles contiennent initialement le même nombre n d'allumettes.
Quel est, en moyenne, le nombre d'allumettes restantes, dans l'autre boîte (deux interprétations) :

(1) lorsqu'on prend la dernière allumette d'une boîte ?

(2) lorsqu'on veut prendre une allumette et que l'on se rend compte que la boîte que l'on vient d'ouvrir est vide ?

Deux type utilisations sont possibles :
Mode manuel et lent :
En cliquant sur une boîte quelconque ou sur le bouton " Prends une allumette ", une boîte est choisie au hasard et une allumette est retirée.
On peut lire à tout moment les nombres restants d'allumettes des deux boîtes.
Lorsqu'une boîte est vide, le premier clic suivant referme les boîtes et permet de commencer un autre essai, sans utiliser le bouton "Nouvelle partie".
Si on change le nombre d'allumettes par boîte, le jeu est entièrement réinitialisé.

Mode automatique et rapide :
Il suffit d'indiquer le nombre de parties à simuler et de cliquer.



Selon l'interprétation souhaitée lors de la simulation, cocher les boutons (1) arrêt immédiat, à la dernière allumette de la boîte, ou (2) à l'ouverture d'une boîte vide :

Arrêt (1) dès qu'une boîte est vide    (2) en ouvrant une boîte vide
Gauche	Droite
Nombre d'allumettes par boîte :
expérience(s) (un entier de 1 à 50).

Solutions des deux interprétations, probabilités, espérances mathématiques et fonctions génératrices, aux formats allu.pdf et aussi ps.gz, dvi, LaTeX.