Le célèbre paradoxe de Bertrand

Univers fini

Lorsque l'univers est fini et qu'il y a équiprobabilité, on calcule la probabilité d'un événement quelconque à l'aide du quotient :

Nombre de cas favorables

Nombre de cas possibles

Cette formule ne peut pas s'utiliser lorsque l'univers n'est pas dénombrable.

Cordes d'un cercle

Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle. Une corde de ce cercle est choisie au hasard, quelle est la probabilité que sa longueur soit supérieure au côté du triangle ?

Corde caractérisée par la position de son milieu

En choisissant le point I au hasard dans le cercle, une seule corde a pour milieu I, (sauf pour l'unique point O, centre du cercle). La corde est plus longue que le côté si et seulement si I est à l'intérieur du cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit est la moitié du rayon du cercle circonscrit et donc son aire est 1/4 de l'aire du cercle circonscrit qui serait donc la probabilité cherchée.

(O est à la fois centre des cercles inscrit, circonscrit et centre de gravité du triangle, il est donc au 1/3 de la médiane à partir de la base).

Corde caractérisée par la distance de son milieu au centre du cercle

La longueur de la corde est supérieure à celle du côté du triangle lorsque son milieu I est sur la moitié du rayon la plus proche de O.
(Quelle que soit la position du triangle sur le cercle).

La probabilité devrait dans ce cas être égale à 1/2.

Corde caractérisée par ses extrémités