Nombres parfaits.
Paires de nombres amiables.
Définitions
Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier,
c'est à dire un diviseur autre que l'entier n.
Notons s(n) la somme des diviseurs propres de n.
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres : n est parfait si s(n) = n.
Deux entiers différents sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre :
m et n sont amiables si s(m) = n et s(n) = m.
Synonymes : nombres amicaux, nombres amis.
Exemples de Fermat : 17296 et 18416, de Descartes : 9363584 et 9437056 (*)
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres : n est parfait si s(n) = n.
Deux entiers différents sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre :
m et n sont amiables si s(m) = n et s(n) = m.
Synonymes : nombres amicaux, nombres amis.
Exemples de Fermat : 17296 et 18416, de Descartes : 9363584 et 9437056 (*)
Recherche des nombres parfaits et des paires amiables
Histoire
Le mathématicien d'expression arabe Thabit ibn Qurra (826-901) a montré que si $ a $, $ b $ et $ c $ sont des nombres premiers de la forme
C'est grâce aux traductions que fit Thabit ibn Qurra que les oeuvres de nombreux savants de l'antiquité (Euclide, Apollonios, Ptolémée et d'autres), nous sont parvenues.
$\displaystyle a = 3 \times 2^n -1 $, $\displaystyle b = 3 \times 2^{n-1} -1 $, $\displaystyle c = 9 \times 2^{2n-1} -1 $ avec $\displaystyle n > 1 $ alors les nombres $\displaystyle 2^n ab $ et $\displaystyle 2^n c $ sont amiables [Cliquer pour une recherche (1< n< 10)].
C'est grâce aux traductions que fit Thabit ibn Qurra que les oeuvres de nombreux savants de l'antiquité (Euclide, Apollonios, Ptolémée et d'autres), nous sont parvenues.
Liens
Page de liens sur l'Arithmétique
(*)dictionnaire de Mathématiques A. Bouvier -M. Georges - F. Le Lionnais. Éditeur puf (décembre 2001)
Histoire des Sciences de l'Antiquité à nos jours sous la direction de Philippe de la Cotardière. Éditeur Tallandier (janvier 2005).
l'algèbre arabe, genèse d'un art Ahmed Djebbar. Éditeur Vuibert (novembre 2005).
MathWorld : perfect number Eric W. Weisstein (MathWorld Wolfram Research).
MathWorld : amicable pair Eric W. Weisstein (MathWorld Wolfram Research).
The first four perfect numbers are 6, 28, 496, 8128
A000396 Nombres parfaits.
A000203 somme des diviseurs de n
A003023 Longueurs des séquences aliquotes.
et les ambigrammes (ou inversions)