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Automates cellulaires de dimension 1

Principe

Définition d'un automate cellulaire de dimension 1

Dans un automate cellulaire de dimension 1
  1. L'ensemble des cellules est l'ensemble Z des entiers, les "cellules" sont (repérées par) des entiers.
  2. Chaque cellule est à l'instant t dans un état s qui est un élément de l'ensemble S des états.
  3. Le voisinage V de 0 est une suite ordonnée d'entiers V = (v0, v1, v2, ...,vn-1) de n entiers, le voisinage de toute cellule x s'en déduit et est x + V = (x+v0, x+v1, x+v2, ..., x+vn-1), dans le cas de certains automates, ce voisinage de x contient la cellule x.
  4. Une fonction de transition locale f définie de Sn vers S
À chaque instant t, pour chaque cellule x, les cellules y0, ..., yj... du voisinage x + V sont toutes dans des états s = (s0, ..., sj...). La fonction de transition locale f détermine l'état s' = f(s) = f(s0, ..., sj...) de la cellule x à l'instant suivant t+1.
Cette définition se généralise tout naturellement aux automates cellulaires sur Zd.

Dans le cas d'un automate cellulaire à deux états |S|=2, on peut dresser le tableau suivant :
Nb d'éléments d'un voisinage : 1 2 345
Nb de valeurs possibles du voisinage :2481632
Nb de fonctions de transitions différentes :416256655364294967296

Explications pratiques et réalisation

Résultats

Les différentes lignes de la partie "Résultats" correspondent aux évolutions successives d'un automate cellulaire de dimension 1.
La première ligne est l'automate dans son état initial, les lignes suivantes correspondent aux états successifs l'automate.

Nombre d'automates différents réalisables

Les automates réalisables dans cette page ont un ensemble S = {0, 1} de deux états seulement. Pour une meilleure lisibilité en mode texte, les états sont notés S = { "-", "X"}.
Dans cette page, les voisinages ont tous exactement trois éléments, mais les trois éléments d'un voisinage peuvent être choisis de diverses manières (dans des limites raisonnables en restant suffisamment près de la cellule).

Le nombre d'automates différents est 256 pour une définition d'un voisinage et une ligne initiale donnéess.
En changeant la définition des trois cases du voisinage on obtient donc un nombre plus élevé d'automates. En changeant la ligne initiale on augmente encore les possibilités.

Voisinages

L'un des voisinages les plus simple de B est ABC (trois cases successives), qui correspond à l'ensemble {-1, 0, 1}.
Si vous voulez essayer le voisinage A,B,C de T pour les positions suivantes : A__B_T_C, vous devez repérer les positions de A, B, C par rapport à T, ce qui donne {-5, -2, 2} dans l'exemple.

Règles

23 = 8 et 28 = 256.
Pour un voisinage défini sur trois cases, l'automate peut être décrit par une règle R que l'on code par un entier de 0 à 255 inclus :
en numération binaire, R a 8 chiffres au plus, par exemple R = 75décimal = 0101011binaire
Ce procédé permet d'associer une valeur c = 0 ou 1 (le chiffre binaire) à tout entier de v = 0 à 7 (la position de droite à gauche du chiffre dans R).
Exemples pour la règle R=75décimal = 0101011binaire ci-dessus :
Les chaînes sont lues de gauche à droite, le caractère "X" correspond à la valeur 1 et le caractère "-" correspond à 0.

1) "X--" correspond à v = 100_b = 4+0+0 = 4 et donc à c=0, le caractère central "-" de "X--" est remplacé par "-" sur la ligne suivante
2) "XXX" correspond à v = 111_b = 4+2+1 = 7 et donc à c=0, le caractère central "X" de "XXX" est remplacé par "-" sur la ligne suivante
3) "X-X" correspond à v = 101_b = 4+0+1 = 5 donc c = 0, le caractère central "-" de "X-X" est remplacé par "-" sur la ligne suivante
4) "-XX" correspond à v = 011_b = 3 donc c = 1, le caractère central "X" de "-XX" est remplacé par "X" sur la ligne suivante

Utilisation

Pour lancer l'application, cliquez sur le bouton [ Automate cellulaire ]. Pour changer de règle, modifiez la valeur ou cliquez sur [ -- ]  [ ++ ]. Pour explorer toutes les possibilités des 256 fonctions de transition, cliquez sur [ Continu ], le même bouton permet d'arrêter le balayage.
La case à cocher ([X] circulaire) permet de refermer les lignes sur elles-mêmes, ce qui revient à les rendre périodiques ou à les considérer comme des cercles. Il est également possible d'utiliser un même motif répété pour obtenir une ligne infinie périodique :([ ] répété)

Application

Automate Cellulaire
Nbres de lignes et de colonnes

Définition des voisinages

Choix de la première ligne ( circulaire)
  • Centre "X"
  • Aléatoire avec la probabilité
  • Motif ( répété) (Utilisez exclusivement les caractères - X ou 0 1)
Règle        

Caractères d'affichage

Résultats

[ -- ]  [ ++ ]  [ Continu ]

Documents - références - compléments - liens utiles

Liens   Penser l'espace et les formes [PDF 36M] Thèse d'architecture de M.-P. Corcuff - ... De tels processus (IFS, L-systèmes, automates cellulaires), mis en oeuvre dans l'espace numérique, montrent comment des règles simples et déterministes peuvent mener à des formes complexes et parfois imprédictibles, mais non quelconques. Ils offrent des potentialités nouvelles, tant dans l'analyse que dans l'invention des formes, en géographie comme en architecture, et contribuent à l'apprentissage d'un regard différent sur l'espace et les formes...
















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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