Réciprocité quadratique - Symboles de Legendre et de Jacobi

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Définition du symbole de Legendre

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Propriétés du symbole de Legendre

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Définition du symbole de Jacobi

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Propriétés du symbole de Jacobi

Application

L'application ci-dessous ne calcule jacobi(n, m) que lorsque m est impair.
[Propriétés Voir/Cacher]
Non équivalence

Lorsque jacobi(n, m)=1, l'application cherche à voir si n est un carré ou non (en calculant les carrés), ce qui permet de trouver des contre-exemples où le symbole de jacobi vaut 1 et n n'est pas un carré mod m, par exemple jacobi(483, 247) ou jacobi(941, 6713)

Schématiquement : Résidu quadratique => jacobi = 1

jacobi = -1 => non résidu

L'équivalence est vraie pour le symbole de Legendre, lorsque m est premier impair.

Tableau de résidus quadratiques

La table permet de voir en premier lieu les résidus quadratiques marqués "x" :
les couples (n, b) tels que b (b en ordonnée) soit résidu quadratique mod n (n en abscisse) sont marqués dans le tableau par un "x". Il s'agit de l'ensemble des couples (n, b), n>1, b>0, tels qu'il existe x vérifiant t2 = b mod n.
Les autres couples couples pour lesquels le symbole de jacobi vaut +1 sans que b ne soit résidu quadratique mod n sont marqués "1", et lorsque le symbole vaut 0, ils sont marqués "o". (Pour n impair uniquement).

[Table : Voir/Cacher]
Tableau des résidus quadratiques

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Documents - références - compléments - liens utiles

BC number theory programs Number theory programs by Keith Matthews jacobi(m,n) calculates the Jacobi symbol, peralta(a,p) finds a square root of a quadratic residue a mod p, using an algorithm of Rene Peralta.

Théorie des Nombres Adrien-Marie LeGendre (Gallica bnf)

Recherches Arithmétiques traduction en 1807 par A.-C.-M. Poullet-Delisle du livre "Disquitiones arithmeticae" de C. F. Gauss paru en 1802. Le livre est disponible aux éditions Jacques Gabay. (Un fichier très réduit au format .djvu du livre "Recherches Arithmétiques" de Gauss est disponible ici).

Le symbole de Jacobi Résidus quadratiques Lois de réciprocité quadratique - Cyril Banderier - Maîtrise

Histoire de la loi de réciprocité quadratique : Gauss et Tate. Cuculière, Roger Publication de l'IREM, Paris-Nord, Université Paris-XIII, 1980.

Sur la première démonstration donnée par Gauss de la loi de réciprocité dans la théorie des résidus quadratiques Lejeune-Dirichlet (Traduction de M. Hoûel). Gallica-Math: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.

Carl Gustav Jacob Jacobi - Œuvres complètes, tome 1 et en particulier sa correspondance mathématique avec Legendre . (Gallica)

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