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Aire d'un ellipsoïde, formules approchées et nomogrammes

Ellipsoïde


L'ellipsoïde de demi-axes $a$, $b$, $c$, ($ a>0, b>0, c>0 $), est la surface de $ \mathbb R^3 $ d'équation $ \displaystyle \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} + \frac {z^2} {c^2} = 1 $ .

Dans le cas général $ a > b > c $ l'ellipsoïde a la forme donnée sur l'image de synthèse ci-dessus (construite en s'aidant de POV-Ray, Xfig et Gimp, pour ne rien cacher).

Lorsque $ a=b=c=R>0 $, on obtient la sphère de rayon $R$ centrée à l'origine du repère (1ère image ci-dessous).

Lorsque deux seulement des demi-axes sont égaux (par exemple $ b=c $), le solide obtenu a encore un axe de révolution.
Si $ a> b=c $, (2ème image),l'ellipsoïde est allongé comme une olive ou un ballon de rugby, mais si $ a < b=c $, (3ème image ci-dessous), il est aplati comme certains comprimés de médicaments.

        


Le volume de la sphère de rayon $ R $ est $ \displaystyle V = \frac 4 3 \pi\,R^3 $, le volume de l'ellipsoïde de demi grands axes $ a $, $ b $, $ c $ est $ \displaystyle V = \frac 4 3 \pi\,a\,b\,c $

Aire d'un ellipsoïde

Pour $ c\leq b\leq a $ et en posant $ \displaystyle\cos\varphi = \frac c a $, $ \displaystyle k^2 = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)} $ et les intégrales elliptiques incomplètes de première espèce $ F( \varphi, k) $ et de deuxième espèce $ E( \varphi, k) $, l'aire de l'ellipsoïde est $ \displaystyle A = 2 \pi \left [ c^2 + \frac{ab}{\sin \varphi }\left ( E (\varphi, k)\sin^2\varphi + F(\varphi, k) \cos^2 \varphi \right ) \right ] $ où $ \cos \phi = \frac c a $, $ \displaystyle k^2 = \frac {a^2 (b^2-c^2)} {b^2(a^2-c^2)} $ (pour $ a > c $)

En compilant le programme Surface d'un ellipsoïde écrit en C, vous pourrez calculer l'aire S(a,b,c) d'un ellipsoïde. Ce programme utilise la bibliothèque GNU GSL de fonctions mathématiques.

Ce programme est utilisable en ligne à [Surface d'un ellipsoïde]. Indiquez les trois valeurs $ a $, $ b $ et $ c $ des demi-axes et le programme calculera la valeur exacte de l'aire de l'ellipsoïde.

Calcul approché de l'aire de l'ellipsoïde

Dans ce paragraphe on utilisera deux fonctions très différentes, la première donne une valeur approchée à 0,65 % près et la seconde à 1.06 % près du résultat.
Lorsque le rapport entre la plus grande et la plus petite valeur des trois paramètres $a$, $b$, $c$ n'est pas trop grand, la précision, la précision est bien meilleure encore.
Les précisions 0.65 % et 1.06 % ont été déterminées expérimentalement en étudiant un grand nombre de cas, pour un rapport entre $a$, $b$ ou $c$ ne dépassant pas 1000.

$ a, b, c = $    



Calcul très simplifié mais moins précis de l'aire

Les résultats obtenus ci-dessous ne sont utilisables que pour des valeurs suffisamment proches les unes des autres de $a$, $b$ et $c$, sinon l'erreur relative peut rapidement dépasser 30 %. Le seul mérite de la formule est de permettre un calcul mental $ S \approx 4.2 (ab + bc + ca) $, ou à la rigueur $ 4 (ab + bc + ca) $.
$ a, b, c = $    




Pour obtenir mentalement et rapidement une valeur approchée de l'aire, il suffit de calculer $ 4(ab+bc+ca) $ . Si vous remplacez $ 4 $ par $ 4,2 $ le calcul est plus compliqué, mais le résultat est meilleur.

Nomogrammes à axes parallèles

L'utilisation des nomogrammes

Vous pouvez télécharger et imprimer deux nomogrammes au format A4, surfaceellipsoid30.pdf et surfaceellipsoid100.pdf

Un schéma explicatif ci-dessous montre comment utiliser les nomogrammes, mais auparavant il faut déjà avoir calculé les trois produits $ a\times b $, $ b\times c $ et $ c\times a $ des tois paramètres $ a $, $ b $, $ c $, deux à deux.
Pour obtenir ces trois produits on peut se servir d'une calculatrice, calculer mentalement ou se servir d'un nomogramme multiplicatif.


La construction du nomogramme

Un peu de géométrie dans un triangle



I, J et K sont les milieux des côtés du triangle MNP. Les médianes du triangle sont donc MJ, NK et PI, elles se coupent au centre de gravité G du triangle MNP.

Les droites parallèles fixes m, i, n, g et p passent par les points M, I, N, G, P.
Si on change les positions des sommets M, N, P du triangle sur les droites fixes m, n, p, alors le milieu I restera sur la droite i et le centre de gravité G restera aussi sur la droite fixe g.

Si dans un repère cartésien quelconque du plan, $ F $ est l'ordonnée du point G, $ X $ celle de M, $ Y $ celle de N et $ Z $ celle de P, alors $ 3 F = X + Y + Z $.

(Idem si $ F $, $ X $, $ Y $, $ Z $ sont les abscisses des points et non les ordonnées).

Une formule 3 F = X + Y + Z permet un nomogramme

L'excellente formule de Knud Thomsen donne la valeur approchée $\displaystyle S = 4\, \pi\, \left(\frac{a^pb^p + b^pc^p + c^pa^p} 3\right)^{\frac 1 p} $ où $ p = 1.6075 $. L'aire de l'ellipsoïde est obtenue avec une erreur relative ne dépassant pas $ 1.06 $%, ce qui est sans doute bien suffisant pour un nomogramme.

Il suffit d'écrire l'égalité sous la forme $ \displaystyle 3 \left(\frac{S}{4\,\pi}\:\right)^p = (ab)^p + (bc)^p + (ca)^p $ pour voir l'analogie entre cette formule et la formule précédente reliant les ordonnées des sommets du triangle MNP et du centre de gravité G. (G est l'isobarycentre des sommets M, n, P).

Ainsi donc, le point G d'ordonnée $ \displaystyle F = \left(\frac{S}{4\,\pi}\right)^p $ est l'isobarycentre de trois points M, N, P d'ordonnées $ \displaystyle X = (ab)^p $, $ \displaystyle Y = (bc)^p $ et $\displaystyle Z = (ca)^p $.

Bien entendu — et c'est là la formidable astuce des nomogrammes — ce ne sont pas les valeurs des ordonnées $ \displaystyle F = \left(\frac{S}{4\,\pi}\right)^p, \displaystyle X = (ab)^p \ldots $ qui sont inscrites sur les axes mais les valeurs qui nous intéressent $S, a\times b, b\times c, c\times a $, ce sont les cotes des points. On peut ainsi utiliser le nomogramme tout en ignorant les formules utilisées.

La fabrication du nomogramme

Le nomogramme obtenu a pour variables l'aire $ S $ et les trois produits $ x= a\times b $, $ y = b\times c $ et $ z = c\times a $. On aurait préféré les variables $ S, a, b, c $ mais la formule de l'aire ne semble pas bien s'y prêter, du moins dans le cas d'un nomogramme à axes parallèles.
Il s'agit de calculer $ S $ en fonction de $ a, b, c $ et on supposera qu'il n'est pas trop difficile de calculer dans un premier temps les trois produits $ x= a\,b $, $ y=b\,c $, $ z = c\,a $, puis dans un deuxième temps d'utiliser le nomogramme pour calculer $ S $ en fonction de $ x, y, z $.

$ 3 F = X + Y + Z $, où $ \displaystyle F(S) = \left(\frac{S}{4\,\pi}\right)^p, \displaystyle X(x) = x^p , Y(x) = y^p, Z(z) = z^p $ donnent

$ \displaystyle S = 4\,\pi F^{\frac 1 p}$, $ \displaystyle x = X^{\frac 1 p}$, $ \displaystyle y = Y^{\frac 1 p} $ et $ \displaystyle z = Z^{\frac 1 p} $.
Ces quatre formules inverses donnent les cotes (les graduations effectivement portées sur les axes). L'axe i du point intermédiaire I n'a pas besoin d'être gradué.

Les positions relatives des trois axes parallèles portant les points M, N et P sont en principe quelconques. En pratique on essaie de les disposer de telle sorte que la figure soit la plus claire possible et que l'utilisation du nomogramme soit la plus aisée possible.

L'axe i de I est l'axe médian des axes m de M et n de N. (I est le milieu de MN).
L'axe g de G est au tiers de la distance de l'axe i de I à l'axe p de P. (Le centre de gravité d'un triangle est au tiers de la médiane à partir de la base du triangle).

Documents - références - compléments - liens utiles

Numericana — Spheroids & Scalene Ellipsoids   Surface area of a general ellipsoid. On trrouvera la formule approchée de Knud Thomsen et aussi bien d'autres formules exactes ou approchées sur les ellipsoïdes. Numericana.com est le site de Gérard Michon.
Ocagne

Traité de nomographie. Théorie des abaques. Applications pratiques (1899)   Ocagne, Maurice d', 1862-1938 (Paris, Gauthier-Villars). La page de ce livre sur Open Library.
Nomographie   M. Fréchet et H. Roullet, 1928, (Librairie Armand Colin Paris).
Nomography Theory and Application    Douglas P. Adams, 1964, Archon Books.
GSL - GNU Scientific Library   Les fonctions elliptiques de cette bibliothèque de fonctions mathématiques permettent de programmer aisément le calcul de l'aire d'un ellipsoïde.
Elliptic Integral Overview   La librairie C++ boost fournit les fonctions désirées pour le calcul de l'aire de l'ellipsoïde. >
POV-Ray   The Persistence of Vision Raytracer is a high-quality, totally free tool for creating stunning three-dimensional graphics. It is available in official versions for Windows, Mac OS/Mac OS X and i86 Linux. The source code is available for those wanting to do their own ports.
Xfig   The purpose of this site is to provide a central Xfig repository for the diverse documentation and programs available on the web. All the components and libraries will be available at this site, in addition to Xfig drawings.
GIMP   GIMP is the GNU Image Manipulation Program. It is a freely distributed piece of software for such tasks as photo retouching, image composition and image authoring. It works on many operating systems, in many languages.


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