Convergence des séries alternées

Une série $\displaystyle S = \sum_{n=0}^{n=+\infty} a_n$ est convergente si la suite $(s_n)$ des sommes partielles $s_0=a_0$, $s_1=a_0+a_1$,$s_2=a_0+a_1+a_2,\cdots$,$ s_n=\sum_{k=0}^n a_k$, ... est convergente.

Une série alternée est une série de la forme $\displaystyle S = \sum_{n=0}^{n=+\infty} (-1)^n\,a_n $.
Par exemple, en prenant $\displaystyle a_n = \frac 1 {n+1} $, on a la série alternée $ S = \displaystyle \sum_{n=0}^{n=+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} $ $ \displaystyle = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \frac 1 5 + \cdots $ que l'on sait convergente, sa valeur est $ S = \log(2) $.

Lorsqu'il existe une fonction positive $w(x)$ telle que $\displaystyle a_k=\int_0^1 x^k\,w(x)\,dx$, on connaît un procédé facile à mettre en œuvre et efficace d'accélération de la convergence de la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\,a_n $.
En effet $ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\,a_k $ $ \displaystyle = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\,\int_0^1 x^k\,w(x)\,dx $ $ \displaystyle = \int_0^1 \left( \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\,x^k \right) w(x)\,dx $ $ \displaystyle = \int_0^1 \frac {w(x)}{1+x} dx $.

Plus généralement, si les $a_k$ sont les moments d'une mesure positive, $a_k=\int_0^1 x^k d\mu$, on a $ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\,a_k = \int_0^1 \frac {1}{1+x} d\mu $.

Une des premières propriétés donnée et démontrée dans [C.V.Z.] est :

Étant donnés les entiers $0\leq k\leq n$, soient
$ \displaystyle d_n=\frac {(3+ \sqrt 8)^n + (3 - \sqrt 8)^n}{2} $
et
$ \displaystyle c_{n,k} = (-1)^k \left(d_n-\sum_{m=0}^k\frac{n}{n+m}\binom{n+m}{2m} 2^{2m}\right)$ $ \displaystyle = (-1)^k \sum_{m=k+1}^n\frac{n}{n+m}\binom{n+m}{2m} 2^{2m} $
et si les $a_k$ sont les moments d'une mesure positive sur $[0, 1]$, on note
$ \displaystyle S = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\,a_k $, $ \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{c_{n,k}}{d_n} $,

Alors
$ \displaystyle |S - S_n|\leq \frac{S}{d_n}\approx \frac{2S}{(3+\sqrt 8)^n}$

L'algorithme correspondant du calcul de $S_n$ est le premier des trois algorithmes utilisables plus bas sur cette page. Il correspond à la fonction seriealt1(n, a) où a désigne la fonction $a(k)$ qui donne la valeur du coefficient $a_k$, pour chaque entier positif $k$.
Remarque : a(k) doit être définie pour $k=0$, ainsi $a_k = \frac 1 {k+1}$ conviendra et $a_k = \frac 1 k$ ne conviendra pas.

L'exemple proposé calcule une valeur approchée de $ \displaystyle \sum_{n=0}^{n=+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} $ $ \displaystyle = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \frac 1 5 + \cdots = \log(2) $ en utilisant trois algorithmes différents d'accélération de la convergence des séries alternées.

En vous inspirant de cet exemple et en modifiant la fonction b(n) vous devriez pouvoir tester ces algorithmes dans le calcul d'autres séries alternées du même type.

Les algorithmes utilisés correspondent à ceux décrits dans l'article [C.V.Z.] Convergence acceleration of alternating series de Henri Cohen, Fernando Rodriguez Villegas, Don Zagier. Trois programmes pour Xcas se trouvent sur [R.DG.].

   

function b(n) { return 1/(n+1); } function result() { var s = seriealt1(20, b) + "<br>"+ seriealt2(20, b)+ "<br>"+ seriealt3(20, b) + "<br><br>log(2) = " + Math.log(2); return s; } result()