Aliquot sequences

Definitions

Catalan's conjecture

An aliquot part a of a positive integer n > 1 is a proper positive divider of this integern.

If s(n) is the sum of the aliquot parts of n, the aliquot sequence of n is
s(n), s²(n) = s(s(n)), s³(n), ..., s^k(n), ...

Conjecture. A conjecture whose origin goes up in Catalan in 1888 is that the continuation ends up giving
- a prime number (and thus 1 after this prime number)
- a perfect number n such as s(n)=n (examples : 6, 28 ...)
- a pair of sociable numbers m, n such as s(m)=n and s(n)=m (example : 220 and 284)

Example. The dividers of 12 are 1, 2, 3, 4, 6, 12 and s(12) = 1+2+3+4+6=16,
successively, s²(12)= s(s(12)) = s(16)=1+2+4+8=15,
s³(12)=s(15)=1+3+5=9, s⁴(12)=s(9)=1+3=4, s⁵(12)=s(4)=1+2=3, s⁶(12)=s(3)=1.

Sequences

Links

MathWorld : Aliquot sequence Eric W. Weisstein (MathWorld Wolfram Research).

Aliquot Sequences www.aliquot.de Wolfgang Creyaufmüller, Aliquot Sequences.

Aliquot Sequences (Records) Paul Zimmermann

Aliquot sequences Juan L. Varona

Aliquot sequences Jim Howell

A003023 Longueurs des séquences aliquotes.

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