Suites aliquotes

Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier, c'est à dire un diviseur autre que l'entier n.

Si s(n) désigne la somme des diviseurs propres (ou des parties aliquotes) de n, la suite aliquote de n est la suite des itérés
s(n), s²(n) = s(s(n)), s³(n), ..., s^k(n), ...

Conjecture. Une conjecture dont l'origine remonte à Catalan en 1888 est que la suite finit par donner
- soit un nombre premier (et donc 1 après ce nombre premier)
- soit un nombre parfait n tel que s(n)=n (exemples : 6, 28 ...)
- soit une paire de nombres sociables m, n tels que s(m)=n et s(n)=m (exemple : 220 et 284)

Exemple. les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 d'où
s(12) = 1+2+3+4+6=16 et de même, successivement, s²(12)= s(s(12)) = s(16)=1+2+4+8=15,
s³(12)=s(15)=1+3+5=9,    s⁴(12)=s(9)=1+3=4,    s⁵(12)=s(4)=1+2=3,    s⁶(12)=s(3)=1.

Nombre :