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Nombres parfaits.
Paires de nombres amiables.
Définitions
Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier,
c'est à dire un diviseur autre que l'entier n.
Notons s(n) la somme des diviseurs propres de n.
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres :
n est parfait si s(n) = n.
Deux entiers différents sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre :
m et n sont amiables si s(m) = n et s(n) = m.
Synonymes : nombres amicaux, nombres amis.
Exemples de Fermat : 17296 et 18416, de Descartes : 9363584 et 9437056 ( *)
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Histoire
Le mathématicien d'expression arabe Thabit ibn Qurra (826-901) a montré que si a, b et c sont des nombres premiers de la forme
a = 3 × 2n -1, b = 3 × 2n-1 -1, c = 9 × 22n-1 -1
alors les nombres 2nab et 2nc sont
amiables [ Cliquer pour une recherche (n<10)].
C'est grâce aux traductions que fit Thabit ibn Qurra que les oeuvres de nombreux savants de l'antiquité (Euclide, Apollonios, Ptolémée et d'autres), nous sont parvenues.
Liens
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