Suite d'Euler-Bernoulli

La suite d'Euler-Bernoulli 1 1 1 2 5 16 61 272 1385 ... peut se construire à l'aide d'un triangle qui ressemble au triangle de Pascal :

                             1
        Bernoulli         1  <- 0        Euler
                       0 ->  1     1
                    2     2     1  <- 0
                 0 ->  2     4     5     5
              16   16    14    10     5  <- 0
            0 ->16    32 -> 46    56    61    61

Les lignes se construisent alternativement de gauche à droite et de droite à gauche, en commençant par un zéro. Chaque élément est la somme de teux termes comme dans le motif ci-dessous :

                        14
                     32 -> 46=32+14

Suite d'Euler

Le versant de droite, après retrait des zéros, donne la suite d'Euler E(n) = 1, 1, 5, 61, ....
C'est la suite A000364 de njas : « Euler (or secant or "Zig") numbers: expansion of sec x ».
1 0 1 0 5 0 61 ... sont les numérateurs des coefficients du développement en série de
sec(x)=1/cos(x)=1+1/2 x2+5/24 x4 +...

Suite de Bernoulli

Le côté gauche donne la suite de Bernoulli T(n) = 1, 2, 16,...qui est reliée aux nombres (rationnels) de Bernoulli par la relation B(n) = 2nT(n)/(4n(4n-1)) pour n>0.
C'est la suite A000182 de njas : « Tangent (or "Zag") numbers ».
0 1 0 2 0 16 ... sont les numérateurs des coefficients de
tan(x)=1 x + 2/6 x3 + 16/120 x5 +...

Suite d'Euler-Bernoulli

En mêlant les deux suites K(n) = E(0), T(0), E(1), T(1),...,E(i), T(i),... on obtient la suite d'Euler-Bernoulli.
A000111K(n) =1,1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,50521,...
La suite d'Euler-Bernoulli donne les numérateurs des coefficients de
sec(x)+tan(x) = Sommen K(n)/n! xn

suite d'Euler-Bernoulli

nombre de lignes :    coefs :   

Lors de la construction du triangle d'Euler-Bernoulli, chaque élément (de rang i) est calculé comme une combinaison linéaire de deux éléments de la ligne précédente n-1 (au-dessus) et de sa propre ligne n, les deux coefficients étant 1 et 1.
En changeant ces deux coefficients multiplicateurs, on obtient d'autres suites :

En choisissant les coefficients 2 1 on obtient les trois suites A012393, A002436 et A000831 : « Expansion of (1+tan x)/(1-tan x) ».

Essayer aussi 3 1, ou encore 1 2, et pourquoi pas -1 1, et même i+1 n.