Persistance

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Prenons un entier n, par exemple n=735 et additionnons ses chiffres, n₁=7+3+5=15, recommençons, n₂1+5=6, après deux étapes le nombre obtenu n'a qu'un seul chiffre.
La persistance de 735 lors de l'addition des chiffres est 2.

Recommençons, mais en multipliant en prenant par exemple m=478, on obtient successivement m₁=4×7×8=224, m₂=2×2×4=16, m₃=1×6=6.
La persistance de 478 pour la multiplication est 3.

Base de numération      Somme des chiffres Produit Somme des carrés

   

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Au lieu d'effectuer une somme ou un produit des chiffres, on peut appliquer une autre fonction f : n -> n₁=f(n) -> n₂=f(n₁) -> n₃ ...
Comme pour la somme ou le produit des chiffres, on peut prendre une fonction f décroissante, le principal étant de définir une règle d'arrêt efficace afin que la persistance reste finie.
Exemple 1 : f(n) est la somme des carrés des chiffres de n. Arrêt à n_p lorsque n_p+1 est supérieur ou égal à n_p (comme n est fini et n et f(n) sont positifs, avec une telle règle on est assuré que la persistance de n est finie et inférieure à n).
Exemple 2 : f(n) est n/2 lorsque n est pair et (3n+1)2 lorsque n est impair, on s'arrête lorsqu'on obtient 1. La persistance s'appelle ici la 'durée du vol'. Malheureusement on ne sait pas prouver l'arrêt (problème 3x+1, de Syracuse, de Collatz, d'Ulam).

Lorsque la transformation est définie à partir de l'écriture du nombre dans une base de numération, la persistance a toutes les chances de dépendre de la base utilisée.
Ainsi le nombre n dont l'écriture décimale est 735 s'écrit en base neuf 1006_b9. La persistance additive est 1 en base neuf alors qu'elle était 2 en base dix.

Dans le cas multiplicatif, N.J.A Sloane se pose le problème de déterminer le plus petit entier de persistance donnée. La suite de ces records est A003001.

En se basant sur l'apparition du chiffre 0 à un endroit ou un autre, N.J.A Sloane conjecture que dans toute base b, il existe une persistance multiplicative maximale c(b). S'il est aisé de montrer que c(2)=1, rien n'est connu ensuite !

Vous pouvez essayer plusieurs transformations parmi les suivantes ou en construire d'autres :
1) somme des chiffres,  2) produit des chiffres,  3) somme des carrés des chiffres,  4) somme des produits de deux chiffres consécutifs,  5) somme pondérée des chiffres par leur rang,  6) somme pondérée des chiffres par leur rang inverse,  7) somme pondérée des chiffres par 1 ou 2 selon leur parité,  8) somme des chiffres de rang impair,  9) somme des produits des chiffres de meme parité.

Vous pouvez aussi choisir une base de numération de 2 à 36.

Vous pouvez calculer individuellement les persistances des nombres (écrivez n le dans la base choisie sur la première ligne , seul).
Mais vous pouvez préférer déterminer les records de 0 au nombre n choisi.

Base de numération        
Méthode

var a=0; for(var i=0;i< l;i++) { a += (i+1)*chiffres[i]; } a;

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