Suites construites à partir des polynômes cyclotomiques
Polynômes cyclotomiques Phi
Définitions
Quelques polynômes cyclotomiques
Les polynômes cyclotomiques sont irréductibles dans Z[x].
Fichier texte de tous les polynômes Phi_n jusqu'à n=500
Fichier texte de tous les polynômes Phi_n jusqu'à n=500
Phi(1)=x - 1 Phi(2)=x + 1 Phi(3)=x^2 + x + 1 Phi(4)=x^2 + 1 Phi(5)=x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(6)=x^2 - x + 1 Phi(7)=x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(8)=x^4 + 1 Phi(9)=x^6 + x^3 + 1 Phi(10)=x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(11)=x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(12)=x^4 - x^2 + 1 Phi(13)=x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(14)=x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(15)=x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 Phi(16)=x^8 + 1 Phi(17)=x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(18)=x^6 - x^3 + 1 Phi(19)=x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(20)=x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1 Phi(21)=x^12 - x^11 + x^9 - x^8 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1 Phi(22)=x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(23)=x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(24)=x^8 - x^4 + 1 Phi(25)=x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1 Phi(26)=x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(27)=x^18 + x^9 + 1 Phi(28)=x^12 - x^10 + x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1 Phi(29)=x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(30)=x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1 Phi(31)=x^30 + x^29 + x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(32)=x^16 + 1 Phi(33)=x^20 - x^19 + x^17 - x^16 + x^14 - x^13 + x^11 - x^10 + x^9 - x^7 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1 Phi(34)=x^16 - x^15 + x^14 - x^13 + x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(35)=x^24 - x^23 + x^19 - x^18 + x^17 - x^16 + x^14 - x^13 + x^12 - x^11 + x^10 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x + 1 Phi(36)=x^12 - x^6 + 1 Phi(37)=x^36 + x^35 + x^34 + x^33 + x^32 + x^31 + x^30 + x^29 + x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(38)=x^18 - x^17 + x^16 - x^15 + x^14 - x^13 + x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(39)=x^24 - x^23 + x^21 - x^20 + x^18 - x^17 + x^15 - x^14 + x^12 - x^10 + x^9 - x^7 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1 Phi(40)=x^16 - x^12 + x^8 - x^4 + 1 Phi(41)=x^40 + x^39 + x^38 + x^37 + x^36 + x^35 + x^34 + x^33 + x^32 + x^31 + x^30 + x^29 + x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(42)=x^12 + x^11 - x^9 - x^8 + x^6 - x^4 - x^3 + x + 1 Phi(43)=x^42 + x^41 + x^40 + x^39 + x^38 + x^37 + x^36 + x^35 + x^34 + x^33 + x^32 + x^31 + x^30 + x^29 + x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(44)=x^20 - x^18 + x^16 - x^14 + x^12 - x^10 + x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1 Phi(45)=x^24 - x^21 + x^15 - x^12 + x^9 - x^3 + 1 Phi(46)=x^22 - x^21 + x^20 - x^19 + x^18 - x^17 + x^16 - x^15 + x^14 - x^13 + x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 Phi(47)=x^46 + x^45 + x^44 + x^43 + x^42 + x^41 + x^40 + x^39 + x^38 + x^37 + x^36 + x^35 + x^34 + x^33 + x^32 + x^31 + x^30 + x^29 + x^28 + x^27 + x^26 + x^25 + x^24 + x^23 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Phi(48)=x^16 - x^8 + 1 Phi(49)=x^42 + x^35 + x^28 + x^21 + x^14 + x^7 + 1 Phi(50)=x^20 - x^15 + x^10 - x^5 + 1
Évaluations de Phi_n(x) en certains points x
1) Lorsque n est premier, Phi_n(1) = n (par exemple Phi_23(1) = 23).
2) Lorsque n n'est pas premier, Phi_n(1) = 1, (par exemple Phi_24(1) = 1).
3) Le terme constant de Phi_n(x) est 1, on en déduit que Phi_n(b)-1 est divisible par b.
Le polynôme cyclotomique Phi_26(x) = x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 est tel que
Phi_26(1)=1, Phi_26(2) = 2731 nombre premier, Phi_26(3) = 398581 premier, Phi_26(4) = 13421773 = 53 × 157 × 1613 composé, Phi_26(5) = 203450521 = 5227 × 38923 composé etc.
Rangs pour lesquels les évaluations de Phi_n sont des nombres premiers
Pour chaque valeur de x := k = 2, 3, 4, ... on donne les débuts des suites des n (jusqu'à n=500) pour lesquels Phi_n(k) est un nombre premier
x=2
A072226 (Values of n for which Phi_n(2) is prime, where Phi_n is the n-th cyclotomic polynomial.)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 40, 42, 46, 49, 56, 61, 62, 65, 69, 77, 78, 80, 85, 86, 89, 90, 93, 98, 107, 120, 122, 126, 127, 129, 133, 145, 150, 158, 165, 170, 174, 184, 192, 195, 202, 208, 234, 254, 261, 280, 296, 312, 322, 334, 345, 366, 374, 382, 398, 410, 414, 425, 447, 471 ...
x=3
1, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 21, 24, 26, 33, 36, 40, 46, 60, 63, 70, 71, 72, 86, 103, 108, 130, 132, 143, 145, 154, 161, 236, 255, 261, 276, 279, 287, 304, 364, 430, 464 ...
x=4
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 20, 28, 40, 60, 92, 96, 104, 140, 148, 156, 300, 356, 408 ...
x=5
3, 7, 10, 11, 12, 13, 24, 28, 47, 48, 49, 56, 57, 88, 90, 92, 108, 110, 116, 120, 127, 134, 141, 149, 161, 181, 198, 202, 206, 236, 248, 288, 357, 384, 420, 458, 500 ...
x=6
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x=7
5, 6, 13, 18, 21, 28, 30, 34, 36, 46, 48, 50, 54, 55, 58, 63, 76, 84, 94, 105, 122, 131, 148, 149, 224, 280, 288, 296, 332, 352, 456 ...
x=8
1, 3, 9, 30, 42, 78, 87, 138, 189, 303, 318, 330, 408, 462 ...
x=9
6, 12, 18, 20, 30, 36, 54, 66, 118, 138, 152, 182, 232, 264, 336, 340, 380, 414, 446, 492 ...
x=10
2, 4, 10, 12, 14, 19, 23, 24, 36, 38, 39, 48, 62, 93, 106, 120, 134, 150, 196, 317, 320, 385 ...
x=11
9, 10, 14, 15, 17, 19, 20, 27, 36, 42, 45, 52, 60, 73, 91, 104, 139, 205, 234, 246, 318, 358, 388, 403, 458 ...
x=12
1, 2, 3, 5, 10, 12, 19, 21, 22, 56, 60, 63, 70, 80, 84, 92, 97, 109, 111, 123, 164, 189, 218, 276, 317, 353, 364, 386, 405, 456 ...
x=13
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x=14
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x=15
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x=16
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x=17
3, 5, 7, 11, 12, 14, 15, 34, 46, 47, 48, 50, 71, 77, 94, 114, 147, 154, 176, 228, 235, 258, 275, 338, 350, 419, 450, 480 ...
x=18
1, 2, 6, 14, 24, 30, 33, 45, 46, 72, 78, 114, 146, 168, 288, 414, 440, 448 ...
Documents - références - compléments - liens utiles
Polynômes cyclotomiques (liens)
Cyclotomic polynomials and prime numbers a href="http://pagesperso-orange.fr/yves.gallot/papers/">Yves Gallot
search for cyclotomic The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
2) Lorsque n n'est pas premier, Phi_n(1) = 1, (par exemple Phi_24(1) = 1).
3) Le terme constant de Phi_n(x) est 1, on en déduit que Phi_n(b)-1 est divisible par b.
Le polynôme cyclotomique Phi_26(x) = x^12 - x^11 + x^10 - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 est tel que Phi_26(1)=1, Phi_26(2) = 2731 nombre premier, Phi_26(3) = 398581 premier, Phi_26(4) = 13421773 = 53 × 157 × 1613 composé, Phi_26(5) = 203450521 = 5227 × 38923 composé etc.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 40, 42, 46, 49, 56, 61, 62, 65, 69, 77, 78, 80, 85, 86, 89, 90, 93, 98, 107, 120, 122, 126, 127, 129, 133, 145, 150, 158, 165, 170, 174, 184, 192, 195, 202, 208, 234, 254, 261, 280, 296, 312, 322, 334, 345, 366, 374, 382, 398, 410, 414, 425, 447, 471 ...
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Polynômes cyclotomiques (liens)
Cyclotomic polynomials and prime numbers a href="http://pagesperso-orange.fr/yves.gallot/papers/">Yves Gallot
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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.