Les dérangements de 12 chapeaux.

À leur arrivée, douze personnes déposent leurs chapeaux au vestiaire.
Un singe facétieux change les chapeaux de place, au hasard.
En repartant, les personnes récupèrent ce qu'elles croient être leurs chapeaux, aux emplacements où elles les ont mis.

Quelle est la probabilité qu'aucune de ces personnes ne retrouve son chapeau.

Une permutation de E = [1, n]={1, 2, ..., n} est une bijection de E vers E.

On appelle point fixe d'une permutation f de E tout x de E tel que f(x)=x.
Les points fixes de f sont leurs propres images.

Les dérangements de E sont les permutations de E sans points fixes.

  ou       fois

Fréquences des nombres de points fixes par permutation

Le diagramme ci-dessus indique (en ordonnées) les fréquences des nombres de points fixes (abscisses) des permutations construites aléatoirement.
On obtient par cette simulation une approwimation des probabilités d'avoir 0, 1, 2... chapeaux à leur place d'origine, dans une permutation de l'ensemble des 12 chapeaux.
La fréquence associée à l'abscisse 0 est celle du nombre de dérangements (permutations avec 0 point fixe)

Nombres de dérangements (fichier pdf)
Petits programmes (bc) de calcul des nombres de dérangements par récurrence, ou de la probabilité (12 chapeaux).

              p = 0,36787944132128159905
            1/p = 2,71828182735187440887